人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 这些函数的图象如图26.2-2所示 可以看出: (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们 的横坐标是一2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是 反过来,由 0.由此得出方程x2+x-2=0的根是一2,1. 一元二次方程的 (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这根的情况,也可 点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方 确定相应的二 程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. 次函数的图象与 x轴的位置关系 (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此 可知,方程x2-x+1=0没有实数根 一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知 (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标 是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+ bx+c=0的一个根 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有 公共点,有一个公共点,有两个公共点,这对应着一元二次方程ax2+bx+ c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等 的实数根 由上面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于 作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的 例利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数 根(精确到0.1). x2-2 解:作y=x2-2x-2的图象(图26.2-3),它 与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. 0.70) (2.7,0) 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 n≈-0.7,x≈2.7 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计 元二次方程的根 图26.2-3 18第二十六章二次函数 26/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 观察函数y=x2-2x-2的图象可以发现,当自变量为2时的函数值小于 0(点(2,-2)在x轴的下方),当自变量为3时的函数值大于0(点(3,1 在x轴的上方),因为抛物线y=x2 2是一条连续不断的曲线,所以抛 物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴,也就是说当自变量取2,3 之间的某个值时,函数的值为0,即方程x2-2x-2=0在2,3之间有根 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围,例如,取2,3的 平均数2.5,用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75,与自变量为3 时的函数值异号,所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75 用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625,与自变量为2.5时的函数 值异号,所以这个根在2.5,2.75之间 重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在2.625,2.75之间,在2.6875, 2.75之间…以看到:根所在的范围越来越小,根所在范围的两端的值越 来越接近根的值,因而可以作为根的近似值.例如,当要求根的近似值与根的 准确值的差的绝对值小于0.1时,由于2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们 可以将2.6875作为根的近似值 你能用这种方法得出方程x2-2x-2=0的另一个根的近似值吗(要求根 的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)? 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程 习题26.2 1.已知函数y=x2-4x+3. (1)画出函数的图象 2)观察图象,当x取哪些值时,函数值为0? 2.用函数的图象求下列方程的解: (1)x2-3x+2=0 (2)-x2-6x-9=0; 3)x+x+2= (4)1-x-2x2=0. 第二十六章二次函数19 27/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 练合运用 3.如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的关系是 +÷x+ (1)画出函数的图象 2)观察图象,指出铅球推出的距离 4.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求(第3题) 这条抛物线的对称轴 拓广探索b 5.画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答 (1)方程x2-2x-3=0的解是什么 (2)x取什么值时,函数值大于0 (3)x取什么值时,函数值小于0. 6.下列情形时,如果a>0,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么位置? (1)方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根 (2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 3)方程ax2+bx+c=0无实数根 如果a<0呢? 信息技术应用 选学 探索二次函数的性质 用某些计算机画图软件(如《几何画板》),可以方便地画出二次 画数的图象,进而从图象探常二次函数的性质。如图1,用计算机軟 件画出函数y=x2-2x-3的图象,拖动图象上的一点P,让这点沿 抛物线移动,观察动点坐标的变化,可以发现: 图1 图象最低点的坐标是(1,-4),也就是说,当x=1时,y有最小值一4 第二十六章二次函数 28/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 当x<1时,y随x的增大而减小,当x>1时,y随x的增大而增大 又如图2,用计算机软件画出函数y=-x2-4x-3的图象,拖 动图象上的一点P,可以发现: 图象最高点的坐标是(-2,1),也就是说,当x=-2时,y有 最大值1; 当x<-2时,y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增 大而减小 图2 利用计算机软件的画图功能,很容易利用二次函数的图象解一元 次方程,要解方程ax2+bx+c=0,只要用计算机软件画出相应抛物线y=ax2+bx+c, 再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标,就能得出要求的方程的根利用图 1,图2中的图象试一试,分别求出方程x2-2x-3=0,-x2-4x-3=0的根 9/137
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人教版数学九年级下册电子课本小龙吞风制作2010020 26,3际问题与二次画数回 前面我们结合实际问题,讨论了二次函数,看到了二次函数在解决实际问 题中的一些应用,下面我们进一步用二次函数讨论一些实际问题 问题用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长 的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大? 分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的值 矩形场地的周长是60m,一边长为,则另一边长为(2-4)m场地的 面积 S=l(30-), S=-2+30l(0<l<30) 画出这个函数的图象(图26.3-1) 3101如2角7 图26.3-1 可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是 函数的图象的最高点,也就是说,当l取顶点的横坐标时,这个函数有最大 值. 因此,当l=- 2-2×(-1)=15时,S有最大值一6 22第二十六章二次函数 30/137
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