及 i=sin"-1sin”-62…:sinp-p…sin0n-d01…dbn-1, 可知 020(p)i=∑ 此处 in" 6.0 M=1 60 sin-1……sinn-dl01··d sin61……sin1p- -1 sin"P-6 J是一个(n-1)重积分,其中第pp<n-1)重积分是 sin"p-8 d6。=sin"-p0, 6Φ 006 6,o 因此当p<n-1时,J=0,当p〓n-1时,J中第(m 1)重积分是 6 de 一1 06 这儿用了另外一个性质,φ对On-的周期性,因此Jn:=0 总之 8Qa=0, 因而 2() 推得 dE 为常数,当p=0时可见〓0,因此F是一常数,再取p= 0,得出公式(2) 512. Laplace方程的 Poisson公式 回到510,命
2ax d-aa'xx Y( X(x) 如果Y(y)适合于 Laplace方程,则X(x)也对.对Y(y)用均 值公式 Y(v)→Y(0 由于 Y(0)= 1-2aa+(a)2 x(a)=(1-a)2-x = aa\i X (u) 及 2a十aa 因此得出 (1-aa)2X(a)=Y(0)= Y(U)办 X(u) 1-2a′ 于是得到 Laplace方程的 Poisson公式 X(a) X(u)运 n一1 1-2au'+aa') 这给出了 Laplace方程的 Dirichlet问题的解的唯一性。 513.小纯 从单位圆出发,直接推广到单位球 1 (1) 31
这单位球的边界是 单位球的表面积元素以表之,总表面积 L-G 本讲中提出以下几种看法 (1)从单位圆的实形式出发 变换群:由把x=a变为y=0的变换 y (1-aa)(x-a)-(x-a)(x-a)a aa<1(3) 及使0点不变的变换 T. TT=I 所组成。由此推出 yy (1-a)(1一x2) (5) 1-2ax十 aa r 这显示出把(1)变为其自己。微分不变量是 dady dxdx yy)2( 二阶偏微分不变算子是 (1-y)2(1-y (1-xx2)” 0(1一x2 因而有二阶偏微分方程式 1一xx) (1一xx2) 0.(7) 变换(3)、(4)也使(2)不变,在(2)上体积元素的变化 规律是
这儿得出了 Poisson核,由此可有 Poisson公式 (x) φ(u)a(9) 2x"十 来解决(7)式的边界值问题( Dirichlet问题)。 2)从实射影群出发 变换群由把x=a变为y=0的变换 √1-a(x-a)(I+礼aa) y 1一ax aa 及使0点不变的变换 y〓xT,rr=I 4) 所组成。由此推出 (1-a)(1一x2 )2 微分不变量是 d(I=yy)2=4x(-x),(6) 由不变二阶偏微分算子所得出的方程是 6① 0.(7) 0x6: 在(2)上体积函数的变化规律是 m-1) D 1 (8") 因此解决(7)的边界值问题的Poso公式是 2(n-1) (9") (3)在(1)中所讨论的几何学为第三讲的球几何共形映
照作了准备.而在(2)中所讨论的几何学则为混合型偏微分 方程作准备.(7)的二次型是 当xx<1时,这方阵是定正的;而x>1时,它是一负 n-1)正的.由于(2)的变形是一次的,因此在反演下不是 不变的 (4) Laplace算子虽然经过(3)而改变,但如果考虑其被 作用的函数也变化,我们仍能得出共变形式:当x,y经过(3) 变化时,我们有 2ax t naxx\I (10) 则 (1一xx aX 2+03Y yy y §12中给出了 Laplace方程的 Poisson公式 X(x) X()a 0n-1m-(1-2x+x) (5)单位圆推广到单位球是开始的第一步.关于部分的 发展可以参阅作者:《多复变函数论中典型域的调和分析》 34