第二讲 Fourier分析与调和 函数的展开式 §1.超球函数的一些性质 为了便于了解起见,我们从头起叙述超球多项式的一些 性质 当>-1时,超球多项式由 2 P()=∑(-1) I+ I (25)m-(1) r(λ)l!(m-2l) 来定义,它是一m次的多项式,有时还定义P()=0.不难 算出 P2)()=1,P()=245 P2)(5)=2(λ+1)92-λ P()=±x(2+1)(+2)5-2(2+1)5,… 一般可以从递归公式 mP4)()=2(m+-1)Pm21(5) (m+2λ-2)P2() (2) 逐一推出,(2)式右边等于 (m+1-1)∑(-1 十 (25)m T(λ)4!(m-1-21) (m+2-2)∑(-1)m2-1+) r()l!(m-2-2 ≤l≤号(m-2) m ×(2占 r(λ)l 35
T(m1-1+x)(m+2=2(24)m r()(l-1)!(m-2l)! (m-1-l+x) r()l!( [(m+λ-1)(m-2)-(m+2-2)l](25)m- (m-l+λ) (25) ℃()l!(m-2l)! 即得所证 从递归公式(2)用归纳法立刻证得 ∑(+m)PM()=1(a+2)P(5)-(n+1)PH() =0 2 1 乘(2)式以pm-,而对m相加,得到 ∑mpmm(5)=2∑(m+x-1)5Pm24(5)pm =0 (m+2-2)P25) 0 命 (p)=∑P() 则此式可以写成为 h(p)=251[p4(p)]-p2lP3k(p) 2[λ(p)+ph(p)]-[2λpH(p)+p2h'(p)], 或 ke)=2(5-p)/(1-2+p) P 运用(0)=P()=1,积分此式立得 h(p)=(1-25p+p2) 也就是我们有演出函数 36
(1-25p+p)=∑P() 微分公式(1)得 P(5)=2∑ (-1)-T(m=l+x) () (2) 2 xr(m=1-1+1+1)(21)m1-2 r(λ+1)l! 1一2l) 故得微分递归公式: )=2xm+1)(§ 也不难证明 (1-52)B()-(2+1)P() m(m+21)P:2)()=0 如命 n=(1-52)2tr() 6) 则?适合于微分方程 2) (2λ-3) d (m+1)(m+22-1)=0 今往证明 rodrique公式: (1一52)2P(5)〓 -2)mr(m+4)r(m+22) r()r(2m+2) d 在证明此公式之前,先由(1)推得恒等式 37
mPm3(5)=(m+2-1)P2)1() 2(1一52)P+2(), 再行归纳法,此式之右边等于 (m+22-1)5(1-52)-+=2)mm二1+ (m-1)! r(λ) 了(m-1 (1 52)~+-是 r(2m+2x-2)\d 2(1一2) (-2)mr(m=1 (m-2)!r(λ+1) r(m+2) r(2m+2-2)\d =2)(m1+)(m+232(1-5)+ (m-1)!r()r(2m+2λ-2) d (m-1) ( d z2)(m-1+)(m+2)(1-)+号 λ)r(2 ()7{(-)“由L公式) (-2)r(m=1+4)r(m+22) (m-1)!r(x)r(2m+2-2)(2m+2x-1 (1一2) 州十 ds m-1十λ)r(m+2)(2m+2x-2) (m-1)!r(4T(2m+2-2)(2m+2x-2)(2m+22-1) X(1-2) (1-52) m十 =2)(m+(m+2)(1-g)+h (2m
× (1-52) d 52,正交性质 假定f(5)是一个在L一1,+1]之间有m次连续微商的函 数,由 Rodrique公式可知 5)Pm)(1-52)^245 (-2)”r(m+λ)r(m+24) m!T()T(2m+2x) f(5) (1一2) m+A-1 d5。 用部分积分可知 K5)() d5 m+-11 f() (1一52) ds (1-52)d ds 由于>-1,所以 (1一2) ds 因此得出 f(5) (-的+A与4 m=1 f(5) (1一与2) m十k d 5 续行此法,最后得出 f(5)%(5)(1-52)-=2m+)(m+2x) m!r(4)T2m+24)