而改变,但是如果被微分的函数也相应地发生变化,我们也可 以找出另一些不变性,就是如果自变数照(1)变化,而函数照 2ax t naxx\2 X (2) 变化,我们有 (1-x2)3∑ 0x〓(1 1-yy) aY (3) 在证明此式之前,先直接验算以下的n+1个函数适合 Laplace方程 p(x)=(1一2ax′+aa'xx2) (4) 及 (x)=(1一2ax+aa'xx2)1[(1-aa)(x-a) DOx -] (5) ((5)是一矢量,共有n个函数) 先证(x)是调和函数: (1-2ax+aarr)i( -ai) ar m4-+(-2)(2) (1-2ar+aa'rx)T ∑(ax1-a,)2+2(1-n)(1-2ax+alx2) 0 再证(x)是调和函数: aurr n(1-2ar+aarr)-1-( x-an) ×[( (x-a)一(x-a)(x-a)a (1-2ax+aa'xx)(1 aa)ei
这儿e(0,0,…,0,1,0,…,0),第;支量为1,其他为 0,又 arr n(n+2)(1-2ax’+aaxx) (aa'x;-a,)[(1-aa)(x-a)-(x-a)(x-a)a (1-2 aa xr [(1 )( (x- a(x-a)a]-2n(1-2ax+aa'xr') X (aa'xr-a, [(I-aa)e, -2(x; - al +(1-2ax+aa’x2)(-2a) 因此 =n(n+2)(1 ax2 aa r ) X aa[(1-aa)(x-a)-(x-a(r-ayal -n (1- 2ax+ad'xx')i aa'[(1 -ad')(r-a) )x-a)a]-2n(1-2ax+a4x) [a(1-a)x-(1-aa)a-2aa'(xx’一ax)a +2(ax2-a)a]-2n(1-2ax+ax)a=0 现在来证明(3)式,先求 X=(x)Y(1-a) 的偏微商: 2 OX Y Y ax 4(r)+ oy, ax 282x Sayi x ay; ayk ax, 十 Y8y(x)+2 ay ay, a a4 dy; ax] Y oy; ax: a ar 26
02 dyi oyk o () x Y yio(x)t2dyi agp 十 +∑ 0,(x) ∑y+ ax2 ri ax2 其后二项都等于0. 又由 dyd (1 dxd (1-2ax2+aa'x) 推得 ag xx 乘以-对加之,得 x y;8 (1-2ax′+axx2)2ay 因此 aa δ, (1-2ar+aa'xr') 由(6)推出 zS、x 44 0x}-(1-2ax+ax)y aY (1 )(1 4x3 y 匾
剎用关系 1-x=(1-2ax+aaxx)(1-yy)/( aa 可得 (1-x)2∑x=(1-y)2∑ 附记 (1)实质上对所有的 Mobius变换 +b c2+d ad-bc=1 都有 deeds cz十 小27 因此 dudes dgdg ca+ d2 及 aau =|cz+d 4aza2 即可望得出更一般的结果。由于 Mobius变换的实形式的n 维推广是共形变换,也就是球几何! (2)对称原理最简单的形式是把R1(图1)中的调和函 数(在实数轴上的条件略)可以扩展到R2,而直线与任何圆 等价,所以一般的形式是任何一段圆弧都有此对应的结果 推广到n维,任何一个球的任何一片都可应用对称原理解析 么D2 2 图1
扩展出去 55中微分方程(1)经反演 x y r 而不变,对称原理获得自然推广.用第三讲56中的结果将获 得更普遍的形式 §11. Laplace方程的均值公式 定理1如果φ(x)=φ(pn)是在单位球上xx≤1适合 于 Laplace方程 02① O① +0p=0,(1) 而且有二阶连续偏微商的函数,则当0≤p≤1时 1(.\p(p)a=φ(0) (2) 命 积分号下求微分,并由(1)可知 1 d de OΦ 1_(…02@. 由 02= (n-p-1) p=sin261…sinp-:06 sin61…sin26, p一1 08 SIn *1 sin 01..sin28p-1 sin"P-ep a8 60