取δ充分小,使 <8 则 cr s1=O(e∴ ′=11-2x+ 对已定的可取r充分接近于1,使 rx 1 2x'十 因此 即得所证 58.建议了些什么? 以上所讲的至少有三种启发: 1°是否还有其他的可递群把单位球变为单位球? 2°从“8”函数出发(即把P(x,u)的性质抽象出来)而 研究偏微分方程的 Dirichlet问题 从边界上的调和分析出发 我们现在先回答1°,2°关于问题三留在第二讲中回答 变形 ad'(x-a)(1+λda) (1) 这儿aa′<1,而 ,1+λaa 先证变形(1)把单位球变为单位球.由于 (x一a)(I+λa'a)2( )2
1-ar)(x-a)(r+-1aa)(x-a) -a4)(x-a)(x-a)+[(x-a)a 因此 (1-a4)(1-2ax+a)-(x-a)(x-a) yy xx (2) )2 不难证明 dy( -y'y)dy= dr(I (3) x 即 dy(I -y'y)ldy= dxc ax )2 在单位球上x=w,y=t,由于lw=0,所以得 dvds au 因此得出 Poisson核 P(x, u) -xx)i( (1-wx") n-l P(x,v)所适合的微分方程是 rix (5) 0x2 0x0 因而证明: Poisson公式 n-1) ①(x)= (a) (6) on-1,)( 给出偏微分方程(5)的 Dirichlet问题的解(证明唯一性后便 完全解决了 Dirichlet问题) 2°不从群出发,而仅从“ Poisson核”出发,也有可能性
命坐是一域,S是它的边界,如果我们可以找到一个 函数 P(r, u) x在域里变,H在边界≌上变,而且适合以下的一些性 质 (i)∫P(x2 (ii)当x趋于边界点v时, 0,若u与v limP(x,“) 若 (iv)它适合一个线性算子(不一定是微分算子) D=0, (A) 则我们可以希望由 (x) P(x,“)p(4) 来给出方程(A)的 Dirichlet问题的解答来,例如在单位球内 24x十xx2 也具有以下的一些性质 (1)非负性, (2),(3)“”函数性, (4)它适合于普通的 Laplace方程 8P二0 axi 因此 Poisson积分 φ(x) p(u)a 1-2wx′+xx)n 也自然地给出了单位球内的 Dirichlet问题的解 以上的性质中较难证明的只有两点:
2ux'+xx)"/ 02 附记在《典型域的调和分析》一书中出现了更多更复杂 的类型的“δ函数 §9.对称原理 对称原理的重要根据之一是:二维的 Laplace方程 十 ap 80/= 经反演而不变,即命 则 6 ap 但当n≥3时,这一性质不再成立 Laplace方程 1 +(n-1)p0+a 变为 十8 pa6 6 02 6 +02
也就是 Laplace方程经反演而变了.幸而有,如果把被微分 函数改为τn-,则 aur 十 Z2 0+2(n-2)n3o 十(n一2)(n-3)zn-, 因而 (n一3) 6 +02| a2r (n-1)r τn-23 即 Laplace方程如果变数x和函数φ都经过变化 (y)=(xx")2φ(x) 则也不变。 换言之,在研究n维 Laplace方程的对称原理时,必须注 意:变数x与函数@都要经过变换,但对我们所研究的微分 方程 (1-p)20(”0)+S1-)ap=0 ap (1-p2)a 来说它经p=1而不变的,因而可如两个变数的办法直接 推广 510. Laplace方程的不变性 Laplace方程虽然经过 (1-a)(x-a)-(x=a)(x=a) (aa'<1)(1) 1-2ax′+aaxx