这儿 十 (n-2)s+(n-3)出、00-1 00 1602 2, sin26106 十(n-4) ctga+ n261sin6266 +-cgn=20 (5) sin20 sin36n-380, 现在考虑微分算子 x)∑2+2(n-2)(1-x)∑x =10x ax 的极座标形式 由 及(4)得 +20-2(1-x)>xa O(m)+2 +2(n-2)(1-p2)p (n-1)+(n-3)p1]9 1-2)8(p8 ap\(1-p2)-2a 我们考虑(6)作用在与62,63,……,6n-1无关的函数
4(pcos61,psin61)的情况,得出以下的偏微分方程 更十 (1一p2)2 n一1 0p\1-p2) 十( g 命ξ=cos1,则得 p2)0 )2p (1-5)Q -(n-1)5a|@0.() 05 这也可以写成为 0(1-p2)-20 (1一52) 05 这建议在长方形 0≤p≤1,-1≤占≤1 内研究拟保角变换 (p,5), (p,5) 这一对函数u,v适合于微分方程组 (1-2) (1-p2)-2ao 0 (9) =-(1-52)t 05 由(9)利用 02 m消去,即得x适合于微分方程 asap apaS (8),利用 02 消去a,得出所适合的微分方程 06Op0 是: 16
na(1=c)" +(1-(1 x(n-3) 05 05 )∽-0 这两个微分方程的二次项相等,一次项两者之和等于 ap a 2-)+ p 0 25 (9)式可能是离普通保角变换最相近的拟保角变换换言之深 入研究这一特殊情况可能作为硏究一般拟保角变换的参考。 57. Poisson公式 dyd 1-a 2 可知在球面x=,y=,a'=v'=1上也有 dvds udu 1-2au+ aaus 球面积有以下的关系式 1-2at+ (因为dv是(n-1)维矢量). 这建议有以下的 Poisson公式 ④(x)=_1 (u)i(2) 0a-1·n'=1 1-xt十 的可能性,这建议说,如果在单位球面ux'=1上给了一个函 数φ(u),我们由(2)所定义的函数既在球上适合于(2),又在 球内适合偏微分方程(5.1)。在详细论述这个问题之前,先 17
研究 Poisson核 P(x,) 的性质,命 ,则 PCr,u) 1-2 这儿(u,)表示两个单位矢量u3的夹角 (1)当0≤ρ<1时,P(x,)>0.这是显然的,因为 pcos(v,以)+p2≥1-2p+p2=(1-p)2 (2)我们有 lim P(x, u) 具体些,命〈u,v)〓a,则当|a|>δ时,给任一8可以找到 使1>ρ>p时 P(x,)≤ P(r, ua=1 一1 这可由一目了然的公式 经(1)而变得 (4)当p<1时,P(x,a)是适合于方程(51)的 微分P(x,u)得 P(x,4) 2(n-1) (1-2x+xx) 【-2(1-wx")x;+(1-xx)u;] 于是
aP(r,u) -2(1-x)x1+(1 rx u (1-2ux+xx) (n-1)∑ 2(1-ux)+2vx;-2 1--2ux+xx) n[-2(1-x')x2+(1-xx);[-2u;+2x 十L 2n(1 1 -2ur'+ rxn 2n[2 )x-2(1 ur rr (1-xx'un"+(1-xx)ux'1 十xx") 由于w'=1,故上式等于0,即Px,t)适合方程(51) 定理1假定φ(4)是一在w'=1上定义的连续函数, Poisson公式 n=1 1一2xu"十 定义一在单位球内适合于方程(51)的函数,并且 lim(ru)〓φ(v), 证当r<1时,由于P(x,a)适合于方程(51),因此 用积分号下求微分法可知φ(x)也适合于方程(51) 今往证:当r→1时, 1 趋于0 命cosa=u',把积分分成为