易证: xM2=[(ax")2-a'xx']x, aM2=[Car)- aa'xx]a, M=[Car')2-aa'rx]M. 因此得出 PP=(r-2(1-ax)M+2M2) (r+2(1-ax)M+2M2) (λr+2M2)2-4(1-ax)2M2 2IT+4(λ-(1-ax)2)M2+4M4 n7+4M{La'xx’-(ax)2]M+,M”h (5) 因此 dxpp'dx (1-2ax+aa'rx) dxdx 2ax十aa'xx)2 与(38)联立,立刻推得 dydy' drdr (7) (1一y)2(1-xx2)2 这关系也是经过(39)而不变的因此(7)是一个不变的微分 二次型 55.微分算子 今往证明偏微分方程 (1-y)2+2(n-2)(1-y)∑yo-0 经变形(32)而不变,(1)可以改写为 (l-yy) yy)
即待证 (1-yy) (1-xx)2 (1-xx) (2) 在证明(2)成立前,先证明以下的一些结果 引理1命μ=1+2ay+aa'yy,则 (3) 证由(3.7)已知 +(1=2a)y+y2a) 十2a 即待证 a 1 a ykt yy ak 左边等于 (δk+2y;aA)(1+2ay+aa’y) k ak)o a y -1z {I2a(1+2ay+ayy")十2(δ;+2y;ak) (a1+aa'y)一2(6+2yak)(a1+aa’y;) 2(yk yy'ak)a’](1+2ay+ 2n[(+2y;ak)(1+2ay2+ay) 2(yk+ yy'ar(a; aa'yi )]a; aayi) ∑[2a4(1+2ay)-2ya1(1+2ay ad yy)-2n(ou 2y:ar(a;+ aayi) 11
x(1+2ay+ aayy)+4n(yt yy'ak) (a;+aa'y;)(a;+aay;)} =1(n[2a4(1+2ay)-2ya']-2n(a+aayk +2ay'ak+2aa'yy'ak+4n(y yy'akaa'y=0 引理2 ax: a ayi a 这是极易从 dyd 推得的。 现在往证(2)式。 由(38)立刻推出 -×(1-x2∑∑Q[(1=a2×1-x2 λ(x) λ(x) ar a i,j,k oxj 6: (1 ) ∑(1 i,ik s1+s2 0y;8 由引理2,1就是(2)式的右边,因此待证52=0.也就是要 证明 Ori\a i i k axk ar, 这等式显然易由下面的等式推出:
∑ axi a x 即 λ 由(36)得=(1-a4)2,以上的等式显然可由引理1推出 §6.球坐标 pu, 4i 则da·a'=0.因此 dx's(dou t pdu (dpi dp2+dudu 所以得到 dxd dp2+dudu (1) 引进球座标 n=(cos1sin1cos02,sin,sin日2,cos03,…, sin2…sinθn-2 cos 6-1,sin61…sinn-2sin日n-1) 0≤1,6 0n-2≤x,0≤0n-1≤ 单位圆的圆周可以表成为(cos6,sin0),0≤6≤2r,但 并不能说单位圆的圆周就等价于区间[0,2x],在区间[0 2x1上的连续函数并不一定是单位圆周上的连续函数.其原 因是=0与θ=2x实际上代表同一点,因此在说到单位圆 周上的连续函数f0)时,必须理解到它是一个以2x为周期 的函数 在球面上情况更为复杂:因为(cosa1,sinθt,cos2 sin2sin02…sin日n- sin 6-)并不是61的以x为周期的函 13
数,在球面上怎样定义一个函数 f(61,…,6n-1),0≤,,On-2≤r,0≤0n-1≤2r 的连续性,主要看区间端点的情况,先看a1=0所代表的点, 不管2…,On-1,如何,当日1=0时,则u=c1=(1,0, 0),因此在u=c1时球面上的连续函数八61,……,日n-1)必须使 limf(1,……,n-1) 8. 存在,而且与62,……,0n-1无关.同理 lim f(0, 12 是=一∈1时的函数值,与O2,…,6n-1无关。同理 mf(O1,62 与61,日3,…;6n-无关,等等.最后 lim f(0, gg-l lim f(a, 适合这些条件的连续函数才是球面上的连续函数 微分矢量a,极易推出 dudu= de? sin20d8:+ sin 8, sin202d0+ +sin01…sin26,2dl02 d-1 单位球表面积的元素a是这微分二次型的行列式的平方根, 即 i〓sin"-1sin-362…sin6n-d01d02·:d0, 不难算出总表面积等于 T2 易知 Laplace算子(也不难直接算出) (3) ax 的极座标形式是 10 14·