(4) Dirichlet,间问题解答的唯一性. 如果有两个解(pe°),v(pc适合于(10),则 也是调和函数,在圆周上这函数等于0,即u(c1°)=0.由(3) 可知在闭圆|x≤1上,w(pe)的最大值≤0,最小值≥0, 因而w≡0.因而解答是唯一的 (5)解答的存在性 考虑 Poisson积分 pc 1 P(p,8-rop(r)dr 13 这函数有以下的一些性质:首先由性质(ⅳv)可知认pe)在 圆内适合 Laplace方程,其次由“8函数”性质可以证明(10) 式.由性质(i) P(p,6-τ)q(θ)d 因为q(0)是连续函数,给了e,存在δ使θ一<δ时, τ) 把积分 P(p,6-r)(q()-g(0))d 分为两部分,由(14)可知 P(p,日-τ)(q()-q(6)d 2J{6-r< ≤ P(p,6-τ) 另一方面,当|0-叫≥8时,可以取P充分接近于1使 (p,6一τ)<ε/2M 这儿M是|q(x)的上界.于是
P(p,0-)(q(x)-q(0)drl<2 2 2M 合并之,得出当P充分接近于1时, 6)|< 即 limu(per )=(o) 因而公式(13)解决了单位圆的 Dirichlet问题的存在性部分 §2.实效形式 为了看出推广的可能性,先看51的结果的实数形式,先 看变形(11)的实数形式 4g2+43 az(1-ax)(1-4x)1 z g十a《zz 把复数u写成为ξ十,而以υ*代表矢量(5,),显然有 ab+4b =246 又由于 a=(b2-c2+2bci(x-iy), (a=b+ 所以 (a2z)*=[(b2-c2)x+2bcy,2bcx-(b2-c2)y] b2-c2. 2bc x, y .26c b =(x,y)[2(b,c)"(b,c)-(b,c)(b,c)r] (2a 这儿依照矩阵相乘的法则办事,因此得 十x*(2a*a2
3.单位球的几何学 以上的实形式建议以下的可能推广 命x=(x1,…,xn)代表一n维矢量,而 代表一单位球,以上建议 r-a-xx'a+x(2a'a-aa'D aa rr 可能是一个变形把单位球一对一地变为其自已,而且把 a变为y 先把y写成为 aa(x-a)-a(r-a(x-a) aa<1 I -2ax+t aarr (3) 作内积 (l-2ax'+ aaxx')2 (1-aa)(x-a)(x (1-2ax′+aa'xx)2 a [(x-a)(x-a)]2 (1一2ax十aa'xx2)2 (1-a^) aa xr 2(1-a)(x-a)a+aa'(x-a)(x-a)1 (x-a)(x-a) (4) 2axaa'xx 由(3)可知y+yya= aa)(x (5) aa xx 再作内积
(y+yy'a(y+yya)y=(1-aa)(x-a(r-ay (1-2ax+aa'xx') 由(兮)得y(1+22y+ay)=(1=a0y 1+十2ax+aa 如果yy′=0,则y=0,由(4)得x=a.如果yy’与0,则得 等式 1+ 2ay f aayy= (6) 2ax+ aa'xx (这对y=0,x=a也对)代入(5)式得 x=a+(y+y2a)(1-a2) 1十2ay十aayy 即 y+a+ ayy y(2. 2ay t aa yy (7) 这与(2)的形式完全相同,只不过把a换成-a而已。因此 (2)的确是一个一对一的变形(对整个空间都如此,除去分母 为0的情况不难证明,例外仅有y=-a/(aa)一点而已) 再由(4)可知 1-2ax+ ad'xx'-(x-a(r-ay' 1-2ax'+ aa'xx (1二aa)(1 1一2ax十daxx 由 Schwarz不等式可知,分母 1-2ax-aaxx'=(1-ax)2+ax÷(ax")2>0, 这又证明了(2)把单位球变为其自己 除形式(2)的变形以外,变形 y=xl, TT=I (9) 也显然把单位球变为其自己 (2)与(9所演出的群就是我们所要讨论的群.我们现 在是研究在此群下单位球内点所成的空间的几何学
这个空间称为双曲空间由(2)和(9)所演出的群称为非 欧运动群 在此群下,球内任一点可以变为原点,而且任意相互正交 的n个方向可以变为n个坐标轴的正向 54.微分度量 求变形 (1-a)(x-a)-(x-a)(x-a)a 2ax+ aax 的微分,有 (1-2ax+ad'xx)dy=(1-2ax+aa'rx') [(1-a')dx-2dx(x-a)a] -[-2dra+2aadxx'l[(1-ad(x-a Cr-a(x-aa]=(1-aa) {(1-2ax+a'x)-2(1-2ax") +2a'r-2xr'a'a-2aarxl Dxf(l-2ar+aa'rx')I-2(1- ar') (x'a-a'x)+2(x'a-ax)2}. 命 P=(1-2ar+aa'xxI-2(1-arCr'a-ar 2(xa-a'x)2 及 M=x'a-a'x,λ=1-2ax'+ax,(1) 则 P=4I-2(1一ax)M+2M2 (2) 及 x’十aa'x2)2