定理1设G=(n,m)是平面图，则： deg(f)=2m fed 证明：对G的任意一条边e,如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果ε不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有： deg(f)=2m f∈Φ 2、平面图的欧拉公式 13
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13 定理1 设G=(n, m)是平面图，则： deg() 2 f f m 证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有： deg() 2 f f m 2、平面图的欧拉公式
定理2（欧拉公式）设G=(n,m)是连通平面图，中是G的面 数，则： m+=2 证明：情形1，如果G是树，那么m=-1,中=1。在这种情 况下，容易验证，定理中的恒等式是成立的。 情形2，G不是树的连通平面图。 假设在这种情形下，欧拉恒等式不成立。则存在一个含 有最少边数的连通平面图G,使得它不满足欧拉恒等式。设 这个最少边数连通平面图G=(m,m),面数为中，则： -m+≠2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14 定理2(欧拉公式) 设G=(n, m)是连通平面图，ф是G的面 数，则： n m 2 证明：情形1，如果G是树，那么m=n-1, ф=1。在这种情 况下，容易验证，定理中的恒等式是成立的。 情形2，G不是树的连通平面图。 假设在这种情形下，欧拉恒等式不成立。则存在一个含 有最少边数的连通平面图G, 使得它不满足欧拉恒等式。设 这个最少边数连通平面图G=(n, m), 面数为ф，则： n m 2