之 本次课主要内容 割边、割点和块 (一)、割边及其性质 (二)、割点及其性质 (三)、块及其性质
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3 本次课主要内容 (一)、割边及其性质 (二)、割点及其性质 (三)、块及其性质 割边、割点和块
研究图的连通性的意义 研究图的连通性，主要研究图的连通程度的刻画， 其意义是： 图论意义：图的连通程度的高低，是图结构性质的重 要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任 意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。 实际意义：图的连通程度的高低，对应于通信网络 “可靠性程度”的高低。 (一)、割边及其性质 定义1边e为图G的一条割边， 如果 @(G-e)>@(G) 红色边为该图的割边
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4 研究图的连通性的意义 研究图的连通性，主要研究图的连通程度的刻画， 其意义是： 图论意义：图的连通程度的高低，是图结构性质的重 要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任 意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。 实际意义：图的连通程度的高低，对应于通信网络 “可靠性程度”的高低。 (一)、割边及其性质 定义1 边e为图G的一条割边，如果 。 ( ) () Ge G 红色边为该图的割边
注：割边又称为图的“桥 图的割边有如下性质： 定理1边e是图G的割边当且仅当e不在G的任何圈中。 证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设e在图G的某圈C中，且令e=uv. 考虑P=C-e,则P是一条uv路。下面证明G-e连通。 对任意x,y∈V(G-e),由于G连通，所以存在x-y 路Q.若Q不含e,则x与y在G-e里连通；若Q含有e,则可 选择路：x--uPv--y,说明x与y在G-e里也连通。所以， 若边e在G的某圈中，则G-e连通。 但这与e是G的割边矛盾！
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5 注：割边又称为图的“桥”。 图的割边有如下性质： 定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。 证明：可以假设G连通。 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v. 考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。 对任意 x, y V(G-e) ，由于G连通，所以存在x ---y 路Q.若Q不含e，则x与y在G-e里连通；若Q含有e，则可 选择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以, 若边e在G的某圈中，则G-e连通。 但这与e是G的割边矛盾！ “必要性
“充分性” 如果e不是G的割边，则G-e连通，于是在G-e中存在 一条u-v路，显然：该路并上边e得到G中一个包含边 e的圈，矛盾。 推论1e为连通图G的一条边，如果e含于G的某圈中， 则G-e连通。 证明：若不然，G-e不连通，于是e是割边。由定理1， e不在G的任意圈中，矛盾！ 例1求证：(1)若G的每个顶点的度数均为偶数，则G 没有割边；(2)若G为k正则二部图k≥2)，则G无割边。 证明：(I)若不然，设e=uv为G的割边。则Ge的含有 顶点u(或v)的那个分支中点u(或v)的度数为奇，而其余点 的度数为偶数，与握手定理推论相矛盾！
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6 “充分性” 如果e不是G的割边，则G-e连通，于是在G-e中存在 一条u --- v 路，显然：该路并上边e得到G中一个包含边 e的圈，矛盾。 推论1 e为连通图G的一条边，如果e含于G的某圈中， 则G-e连通。 证明：若不然，G-e不连通，于是e是割边。由定理1， e不在G的任意圈中，矛盾！ 例1 求证: (1) 若G的每个顶点的度数均为偶数，则G 没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，则G无割边。 证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则G-e的含有 顶点u(或v)的那个分支中点u(或v)的度数为奇，而其余点 的度数为偶数，与握手定理推论相矛盾！
(2)若不然，设e=uv为G的割边。取G-e的其中一个分 支G1,显然，G,中只有一个顶点的度数是k-1,其余点的度 数为k。并且G,仍然为偶图。 假若G,的两个顶点子集包含的顶点数分别为m与n,并且 包含m个顶点的顶点子集包含度为k-1的那个点，那么有： km-1=kn。但是因k≥2，所以等式不能成立！
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7 (2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其中一个分 支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数是k-1,其余点的度 数为k。并且G1仍然为偶图。 假若G1的两个顶点子集包含的顶点数分别为m与n，并且 包含m个顶点的顶点子集包含度为k-1的那个点，那么有： k m – 1 = k n。但是因k≧2，所以等式不能成立！