唯一性定理 教学目的：能分析清楚在有导体情况下和没有导体情况下，Maxwel1 方程满足什么样的初始条件和边界条件，其解能够是唯一确定。（并 能够理解唯一性定理是后面将要讲到各种方法的依据。) 重难点：分析有导体和没有导体情况下的唯一性定理的条件。 教学内容： 本内容将回答两个问题：其一要具备怎么样条件才能求解静电问 题；所求的解的是否唯一。 1、电问题的唯一性定理 (1)有介质存在的情况 对于一个区域V(包含多个子区域)，每个子区域的介电常数一定， 并且是各向同性：在每一个区域内电荷的分布也确定的情况下：（唯 一性定理) 已知：a在每个均匀区域中满足V'9=-P，(也就是有几个区域就是 几个Poisson方程)： b在各个均匀区域的交界面上，满足阳=9，9（码），=￡(9)， (上面两个条件是唯一定理成立的首先必要条件)至此，不知道边界 条件，即不知道区域的边界S上的一些条件。这个问题正是唯一性定 理所要解决的，下面讨论之。 唯一性定理： 设区域'内给定自由电莅()，在'的边界S上给定
(仞 电势、确定或 (ii） 电势的法向导数吧 则叫V内的电场唯一地被确定。 证明：设有两组不同的解o和o”满足唯一性定理的条件，只要得 p=p'-p”=常数即可。 现令 p=p'-p” 在均匀区域V内有 v'p=-2,Vg=-2,→v'0=0 E: E; 两均匀边界上有 9=9,9"=9，→9，=9 6 09) On 8:On 在整个区域V的边界S上有 'ls =9"ls =9o>Pls ='ls-9"ls =0 或者 0o" =0 为了处理边界问题，考虑第i个区域V的界面S上的积分问题， 根据格林定理，对己知的任意两个连续函数和o必有： o ds fwo+(W9vw)ldr=fΨa品 令 Ψ=E0
且 jwp-pep:-e器小 :72p=0 ∫e,(V)'dr=fe,pNp 对所有区域求和得到 ∑Je(vpdr=∑feow0-6 进一步分析：在两个均匀区域V:和V的界面上，由于o和Vp的法 向分量相等，又有s,=-5,因此内部分界面的积分为 fcovo-ds-fcvods+fcovod5 =fe9Vg,5,-fe,,V9,·5 om dsi 00ds om =0 g-6,m (这里Dn=Dn,eEn=6,Em,6,Om 9上) 因此 eovo 故 到eoWo5=∑Se.odr 而在S面上，以，=0，或9=0，从而有 ΣeVid:=0 由于e,(Vp)2≥0，而&，≠0，只有Vp=0,所以只要使得 ∑eVdr
成立，唯一地是在V内各点上都有 7p=0 即在V内任一点上，9=常数。 由此可见上面的假设是不成立的，这说明静电场是唯一的。 (2)有导体存在的情况 讨论区域是导体外空间V,即V是由导体外表面S1,S2及S包面所 围成的空间，当S在无穷远处时，所讨论的区域就是导体外的全空间 V。 约定：在无穷远处，电场为零，即在S面上p=0或者表示成、=0。 在此基础上，把问题分为两类： A类问题：已知区域V中电荷分布ρ()，及所有导体的形状和排列， 每个导体的电势都给定； B类问题：已知区域V中电荷分布()，及所有导体的形状和排列； 每个导体的总电荷都给定。 因为导体面就是边界面，因此上述导体的电势或者总电荷就是边界条 件。 先用反证法证明A类问题： 证明：设存在着两个解g和o,这意味着在区域V内，p和o”都满 足Poisson方程： vg=-2,v0=- 第i个导体的表面为S面上，该导体的电势为Q,。那么，在S面上， o和p”都必须等于g,。即
p5=9p15=9 在S面上，p'=p”=0 令p=p-p”,则有 V20=V2p'-Vp”=0 9l=p1-p1s=9,-9,=0 应用Green定理 jwp+(VX=需本 令w=p,有 wp+wo:-p器+∑e器 Vp=0,9.=0,及945=0 (Vo)dr=0 式中被积分函数(V)≥0，要使上式成立，必然在V内每一点上有 7p=0 于是，V中每一点上，p=常数。 但是在导体表面上，p=0,即得到常数=0，即9=9-9”=0，使 得g=p”。这说明了对A类问题o有唯一解。 再用反证法证B类问题 设存在两个解分别为0和o”,则有 Vp=0,(p=0'-p") 令w=p代入Green公式，得 jwp+(pr加=∯器rΣ是 ds