电动力学内容简介，标量场的梯度，V算符 教学目的：初步了解电动力学的研究对象和主要内容，并掌握场的概 念和方向导数、标量场的梯度概念。 重点难点：标量场的梯度 教学内容： 1、场的概念(The Concept of Field) 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物 理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，并且空间每一点 都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如：电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小 和方向，则称此空间为矢量场。如：电场、速度场等。若场中各点物 理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。 2、方向导数(Directional Gradient) 方向导数是标量函数(x)在空间一点沿任意方向相对距离的变 化率，它的数值与所取的方向有关。一般来说，在不同的方向上9 的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向， 乃是这个方向线上给定的一点，P凸2为同一线上邻近的一点。△1为2 和p1之间的距离，从p1沿i到p2的增量为△p=p(P2)-p(p)若下列 极限 P
p(P2)-p(P1) (1.1) △1 存在，则该极限值记作，称之为标量场9在p1处沿i的方向导 数。 3.梯度(Gradient) 在某点沿某一确定方向取得()在该点的最大方向导数。 grado=Vo= 2分 (1.2) On =cos00-00=gradp-7 (1.3) al onOn 4、V算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor) V算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向上移动线元 距离d,o的增量do称为方向微分，即 do 00dl-vo.dl (1.4) al 显然，任意两点p值差为 9s-9x-fVo-di (1.5)
矢量场的散度、旋度、高斯定理和斯托克斯定理 教学目的：掌握矢量场的散度、旋度概念，理解在不同坐标系中不同 的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理。 重点难点：散度、旋度重要概念；高斯定理、斯托克斯定理。 教学内容： 1、通量(Fluid) 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场立方向通过的 流量是dW,而dN是以ds为底，以vcos0为高的斜柱体的体积，即 dW=v cos Ods=v·d (1.6) 称为矢量通过面元的通量。 对于有向曲面s,总可以将s分成许多足够小的面元5，于是通 过曲面s的通量V即为每一面元通量之积 N=. (1.7) d 对于闭合曲面s,通量V为 N=fds (1.8) 2、散度(Divergence). 设封闭曲面s所包围的体积为△V,则 d/Av (1.9)
就是矢量场A()在△V中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当 闭合曲面s及其所包围的体积△V向其内某点M()收缩时，若平均发 散量的极限值存在，便记作 fads div=V.4=lim (1.10) 称为矢量场()在该点的散度(div是divergence的缩写)。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度， 当divA>0,表示该点有散发通量的正源；当divA<0,表示该点有 吸收通量的负源：当divA=0,表示该点为无源场。 3、高斯定理(Gauss's Theorem) (1.11) 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反 之亦然。 4、矢量场的环流(The Circumfluence of Vector's Field) 在数学上，将矢量场()沿一条有向闭合曲线L(即取定了线正 方向的闭合曲线)的线积分 c=dA.di (1.12) 称为A沿该曲线L的循环量或环流量。 5、旋度(Rotation) 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界 的面积△S逐渐缩小，A·也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值 有一极限值，记作
im。As (1.13) 即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖 于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与规定要 构成右手螺旋法则，为此定义 rota=V×1=imAs (1.14) 称为矢量场A()的旋度(rot是rotation缩写)。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强 弱的程度，如果场中处处rotA=0称为无旋场。 6、斯托克斯定理(Stoke's Theorem) a本=J∬× (1.15) 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意 曲面的面积分，反之亦然。 7、度量系数(Measurement Coefficents) 设x,,z是某点的笛卡尔坐标，X,x,X是这点的正交曲线坐标， 长度元的平方表示为 dl2 dx2 dy2 +dz2 (1.16 hidx+hidx+hdx? 其中 h=x: (i=1,2,3) (1.17) Ox. 称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h,2, 凸来描述