电动力学习题解答参考 第二章静电场 1.一个半径为R的电介质球,极化强度P-K与,电容率为£。 (1)计算束缚电荷的体密度和面密度: (2)计算自由电荷体密度: (3)计算球外和球内的电势: 1小求该带由众质成产生的中杨白能品。 解:(1) P,=-f=-w后=-Kvi+ 月=-k2 Cp=-(-R)g 又,球外无极化电荷 E=0O。=i:lR=方KR=K/R (2)由公式D=e蛇 万=8龙+p 0= 8-60 p,=V.i=6-7.p= EK 8-E (e-0)r2 (3)对于球外电场,由高斯定理可得: ∫E%·- 60 .r edrdedo Eo EKR Ewe 同理可得球内电场。E。一总宁 球外电势p%=了E·di=。 EKR 、-6)r1 -1-
电动力学习题解答参考 第二章静电场 球内电势,=d+4·d=。水+Kh尽 R 、-u0-0 ”= 斯=o,a时e ·9d016=2zaR_K "=odr=。6Hd1e=R张宁 e、-60)2 W=W十外=2π8R0+E(K 6,e-60 2.在均匀外电场中置入半径为R,的导体球,试用分离变数法球下列两种情况的电势: (1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差中,; (2)导体球上带总电荷Q 解:(1)当导体球上接有电池,与地保持电势差中时,以地为电势零点 本问题的定解条件如下 =中, (R=R) P外R-n=-ERcos6+p0 7p外=0(R>R)月 P外R北=, (0是未置入导体球 前坐标原点的电势) 根据有关的数理知识,可解得: p.() 由于P州n=-E,RC0s6十O,即: @=au+aRc0+2 P.0+gs是cos6+2g=P(cos叭k=-E,Rcos8+回 故而有:a。=0,a=-E,an=0(n>1),b。=0(n>) 04=0。-E,Rcos6+b+cos0 -2
电动力学习题解答参考 第二章静电场 又0外eR=4即:“外=O,-E Rcos6+b+ +b年cos8=φ, R。R2 0,+=0, 故而又有: R -Eo Ro cos+- R cose=0 得到:b。=(,-p)R,b=ER 最后,得定解问题的解为: 0外=-EoRcos0+p -)R+EoRi cosO(R>Ro) R R (2)当导体球上带总电荷Q时,定解问题存在的方式是: 7φ,=0(R<R) φ=O(R>R) 中.0=有限 中外Rw=一EoRcose8+p(O,是未置入导体球前坐标原点的电势) =中木R-R -a.aR d=Q(R=Ro) 解得满足边界条件的解是 d.R"P.(cOs0) 9,产0-ERao0+空a品Ra0n 由于p外R0的表达式中,只出现了P(cos8)=cos0项,故,bn=0(n>1) -E,Rcos6+cos0 R 又有P外R-R,是一个常数(导体球是静电平衡) -ERjc0s6+c0s0=C R。R ∴.-EoRo cost0+ cos8=0即:6=E,R R -3-
电动力学习题解答参考 第二章静电场 P外=0,-E,Rcos0+4+E -cos0 R R2 又由边界条件-∫8。 9在ds-0 ∴.b0= 4π形0 9为一AEoR0 -0R<R。 c050-E Rcos0.RR 3.均匀介质球的中心置一点电荷Q,球的电容率为ε,球外为真空,试用分离变数法求 空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较。 提示:空间各点的电势是点电荷Q,的电势24GR与球面上的极化电荷所产生的电势的 盈加三老端只持並培折方积。 解:一.高斯法 在球外,R>R。,由高斯定理有:60E·店-9急=9,+9p-9,(对于整个导体球 而言,束缚电荷Qp=0) 龙= 9 4TEoR2 积分后得:P外4B+C(C是积分常数】 又由于p外Rw=0.C=0 Qr(R>Ro) :.0外=4π6R 在球内,R<R。,由介质中的高斯定理: fD.=0 又D=E.E= 21 AneR2 分后得到:Q+C(C是积分常数) -4
电动力学习题解答参考 第二章静电场 由于0两=Q外R.故而有 4πEK。4πeR。 ∴.C2= 2 2;(R<Ro). 4πE.R.4πeR。 网=品品品R) 二.分离变量法 本题所求的电势是由点电荷Q。与介质球的极化电荷两者各自产生的电势的叠加,且有 2, 着球对称性。因此,其解可写作:0= +9 ATER b 由于中是球对称的,其通解为p'=a+ R 由于球心有Q的存在:所以有p为R0=0, 0十a 即p为一AneR 在球外有p外R0=0, 即0w-9+b 4πeR'R 由边界条件得 9g9k-e即9+a=g+b 4π6R。 4πeR。Ro 股=R一品袋 R 4πeR3 :b=g-a=g,d- 4Ee,e4πR,6e =是R a=品数+品品风 -5