Vp=0,94s=0,即得 -习e品h 因为在导体表面S:处，电势并没有给定，但根据电磁学的知识，导体 在静电平衡时为一等势体。虽然L,和1，不一定相等，但对同一导 体而言， pl5-p1=9 (应为一确定值) 所以可从积分号内提出来，于是 -∑0器 现分析 聘= 因为聪d中，S表示电场中第i个导体的表面，导体在静电平衡时， 在导体外，紧靠导体表面处的场强方向导体表面垂直，场强的大小与 导体表面对应点的面电荷密度成正比，即 E=0/8, 而En=-Ce 从而得到 器架（白 =2o-o 这样就有
=1(g-g) 式中Q"和Q都表示第i个导体所带的总电荷，又因为它是给定的，即 2”=Q 故 =0 对每一个导体表面都有此结论。因此得到 J(Vp)'dr=0 同理，(V)2≥0，要使上式成立，必然有 7p=0 即 p=p'-p”=常数 由于E=-Vo,此常数对电场无影响，所以此时仍说0是唯一的。 唯一性定理（另外一种证明方法） 区域V由封闭面So,S,S2,.等所包围，其中So是最外包围面，如果V 内的电荷密度p分布已知，并且各边界面满足下列条件之一时：() S面上电势p己知：(2)S,面上为等势面。9，=c,-常数，并且S面上 流出的电通量已知(y=利爱本，=已知：3)S面上的电场法线分 量En已知( =已知)。那么区域V内电场强度被唯一确定。 on\s. 用反证法证明
证明：设有两个电势g和o，它们都满足场方程 v2g=-2,v2p"=-2 并满足上述边界条件，则E=E"，或者Vg=Vo,9和o不必相等， 可以相差一个常数，即 p'-p”=const 要证明场中每一点Vo=Vp”成立，只需证明 ∫v(vg'=Vo'dr=0 这里因为V(@-o)≥0，并dr≠0。要使其等于0，则必须g-Vg”。 而 [('-"Jdr=[I('-0")]N(-)Hr 由矢量恒等式 V.(oJ)=Vo-J+oV.J 则有 [V(o'-p")]v(o'-p)r=∫7·[(o'-p"v(o'-p)a -J(p'-p)v2(g'-p")dπ 其中因为vp=-P,v0"=-2,所以7(o-9)=0,即 ∫[v(g'-p)lv(o'-p)r=∫7.l【o'-o(o'-phr 也就是 ∫[v(g'-p)dr=∑知'-pv(g'-) 现在考察上式右边的面积积分之值。 (①边界条件一，有(p-9、=0,故S面积分为零
四设S,面满足边界条件二，由于，=c， p1s,=c，故(o'-p小=c-c=未知数，故可以将(o-p从积 分号内提出来，则有 p'-p(o-p)5,=(g'-p',fg-p)5 =-(p-pE-E)本 由于边界条件二中还包括给定总通量值，即 EdEds 从而使得 fg'-p")V(p-p"5,=0 (四设Sk面满足边界条件三，则 f(p'-pV(g-p)s.=-p'-p'V(E'-E"）, 由于在Sk面上E值给定，故(E-E=0,则 p-pVp-p-=0 由此可见，满足场方程组和边界条件的o和φ”必须满足等式 JV(p-p)Jdr=0 即E=E”,唯一性定理证毕。 2、用唯一性定理解决实际问题 [例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质 的分界面上，介质的介质常数分别为6，和ε，。若导体球总电荷为Q, 求导体球表面外自由电荷分布
SOLUTION:设导体球上下两半球各自带电量为q,和q2,则 Q-q1+q2 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即 91=92 另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0，故满足唯一性定理条件。 根据唯一性定理，得到 oo r-d =-01 而91=92 002 =-02 or lr=a 则得 01=02, 即91=92 6162 2na 2na'8 故 941=92 E1 E2 4=0-9)=g-4 6162 即得到 ,=60,g=6.0 61+62 61+82 电荷面密度为 -、9 EQ 62Q 2m2m(G+8) 2a22a(6,+c2) 课堂讨过论与思考： [例2]两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常数为6，右 半球介电常数为6，。设内球壳半径为a,带电荷为Q,外球壳接地