电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 1.根据算符7的微分性与矢量性，推导下列公式： V(A.B)=B×(N×+(B.V)A+Ax(V×B)+(A.V)B ixW×=Va2-(a.va 解：1)V(A·)=B×(V×)+(B.V)A+A×(V×)+(A.V)B 首先，算符V是一个微分算符，其具有对其后所有表达式起微分的作用，对于本题， V将作用于A和B。 又又是一个矢量算符，具有矢量的所有性质。 因此，利用公式×(a×b)=·(亿·b)-(心·)b可得上式，其中右边前两项是7作用于 A,后两项是V作用于方 2)根据第一个公式，令A=B可得证。 2.设u是空间坐标x,y,z的函数，证明： Vfw=乎v du V.4A0)=7u. du 7×A(u)=Vux du 证明： 1) Vf)of i仙w$e+少5 ey du 6 du 6 du 2) viw-a.m+a,@+4)_a,.a+a,0.a0+4,@.0- dA Ox du 8 du o dz 8 d 3) Vx 4(u)= =( A. ,+ A.o) A,(u)A,(u) -1-
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 =（du dy du e dudu ag,+(dacd加0 y=Vw×dM 3.设r=V(x-x)子+(y-y)2+(z-z)2为源点x到场点x的距离，r的方向规定为从 源点指向场点。 D证明下列结果，并体会对源变数求微商V众号+”。 +)与对场变数求 0+-0 -6 微商V=+y0“】 -+ )的关系。 Vr--Vr-ZvI--V1--z.Vx--0V.- 3=0.(r≠0) (最后一式在人=0点不成立，见第二章第五节)。 2)求 7.i,V×,(@.V)产，7(a.),7L上sim(.f收7×L形。sin(依.小，其中ā，及龙均为常矢量。 证明：V.F-r-x+y-y2+gz)=3 a =0 Bx x-x y-y z-z a.7=a,+a,8+a,r+68,+ 、-e][(x-x')e.+(y-y')e,+(z-z')e] Ox 0 =++·[x-尼，+v-yE,+e-2e,] =a,e,+a,e,+ae.=a V(a.)=ax(V×)+(a.V)产+F×(Vxa)+(F.V)a =(a.V)产+产xNx)+(.)a =a+产x(V×a)+(.V)a V-[E。sin(亿.f刀=lV(sn(k.F小E。+sin(亿-fV.E。) -2-
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 .Re,+8amng,+ampEE =cos(k.k+k,e,+ke)北。=cos(K.K.E) Vx[E。sin(k.F刀=Vsn(k·fxE。+sin(K.fV×Eo 4.应用高斯定理证明 [dwxJ=fdsxj 应用斯托克斯(Stokes)定理证明 Ldsxvo=fdo 证明：1)由高斯定理 dT-g-l,·8 助尝景亮r-8地+g =,U-fn-ui-f用+8ui-in 又：∫ax于=f[fds,-f,ds)i+(fds.-fds)j+(f,ds-fds,)] (E-f.)dS,+(f.i-fE)ds,+(j-f)ds. 若令H.=fk-fj,H,-fi-fE,Hz-fj-fi 则上式就是： 〔又.idW=a尽.i,高斯定理，则证毕。 2)由斯托克斯公式有： f.i=×子. ddl.+fdl +f.dl.) [xs--是s+-&0s+ 而d=dl+,d,+dl) -3
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 {8x0=。名 要i+装7-要，2 ax 停，+普+ 若令f=,f,=中，=中 则证毕。 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为： P()=[p(dv', 利用电荷守恒定律了.了+p=0证明P的变化率为： at 买-[er 证明： apop 3av --jv jar dt lv ot .--fvJxur--fw.67)-@:)Jw-[U.-F.c7w -i.r-9. 若S→0，则()=0，⑦引s=0) 同理，( 2%,,w..=idn -[jc.ww 即：9 6若M是常矢量，证明除R三0点以外，失量A的旋度等于标量P=:代的梯 P3 度的负值，即 VxA=-Vo 其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明： xa=vx用xmx=网am-w -4
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 =(mV)V,r≠0) g==-m:W力=-xVxW-W时x×-偏v -[V])-V=-(m.V)V1 ..VxA=-Vo 7.有一内外半径分别为和2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自 由电荷P,求 (1)空间各点的电场 (2)极化体电荷和极化面电荷分布 解：DD.-∫prd", (2>>T) 即：D4z2-47r-p 3 E=00>r>n） 3gr3 曲E5=g-=r,1p,0>) E=E-rp,元，r>n） 38 r<.=0 2户=6nxE=6,88-G-E Pp=-.P=-e-6加.E=-e-,N.2p 38.3 p,- ,80p,6-0)=-、 38 r一80)pj Op=乃m-P32n 考虑外球壳时，=r2,n从介质1指向介质2（介质指向真空），Pm=0 -5