第3章 静磁场 3.1矢势及其微分方程 3.1.1 矢势 稳定磁场是有旋场，V×B≠0，一般不能引入标量势，但是，我们却可以根据它的无源 性，引入一个矢量函数一矢势来描述稳定磁场。 因为V·B=0,根据矢量分析公式，任一矢量的旋度再取散度恒等于零，即 7·(7A)=0 所以磁感应强度可表示为 B=V xA (3.1-1) A称为磁场的矢势.为了看出矢势A的意义，把B对任一个以回路L为边界的曲面S 积分，得 V×Ads=Adl (3.1-2) 式中左边是通过曲面S的磁通量 因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一 曲面的磁通量，只有A的环量才有物理意义，而每点上的A(x)值没有直接的物理意义， 由式(3.1-1)可知，通过A可以确定B,但对于某一确定的磁场B,矢势A却并不 唯一。这是因为，任一标量函数o的梯度再取族度恒等于零，即 V×V0=0 若A是磁场B的一个矢势，B=V×A,则A加上任意标量函数的梯度后得到的新矢量 A'=A+V0 (3.1-3) 也是磁场B的矢势： V×A'=V×(A+Vp)=V×A+V×Vp =V×A=B 这就是说，对于一个给定的磁场B,矢势可按下面的关系作变换 89
A→A'=A+79 这样的A可以有无限多个。这种变换叫做矢势的规范变换，选定一个φ就叫做一种规范。 实质上，A的这种任意性是由于B=V×A只确定了A的旋度，而要完全确定一个矢量 场，还必须给出它的散度。A的这种不确定性表面上看似乎使问题复杂了，实际上却不 然，因为我们可以适当规定V·A的函数形式，从而使场方程化成最简单的形式。通常 是取 V·A=0 (3.1-4) 按这个条件选择的A称为库仑规范下的A,(3.1-4)式称为库仑规范条件或横场条件。从 数学上看，任何一个矢量场都可以看成是纵场和横场的叠加，旋度为零而散度不为零的 场称为纵场，散度为零而旋度不为零的场称为横场。前者的力线具有发散状结构，后者 的力线又有祸旋状结构。库仑条件表明：我们所取的A只有横场而不包含纵场。 为了满足库仑规范条件，应选什么样的函数呢？假如有一个矢势A不满足库仑条 件，例如V·A=a,我们总可以找到一个新的矢势A+Vp,使它满足库仑条件： 7.(A+7p)=7·A+720=0 这就要求 V2o=-a 不难看出，满足这个方程（泊松方程）的也不是唯一的，所以即使我们选定了库仑规范， 矢势A也还不是唯一的，还可以相差一个满足拉普拉斯方程的标量函数的梯度： 72p'=0 A'=A+Vo (3.1-5) 若A满足B=V×A,V·A=0,则A满足B=V×A',V·A'=0.不过在经典物理的范 围内，这种不唯一性对于我们进一步研究磁场并没有影响。 3.1.2 矢势微分方程 在均匀线性介质内，B=H,将此式与式B=V×A一起代入式V×H=J,得 V×(V×A)=W (3.1-6) 90
由矢量分析公式可知 V×(V×A)=V(V·)-V2A 若取A满足规范条件V·A=0,得矢势A的微分方程 V2A=-uJ (3.1-7) 可见在稳恒场条件下，矢势A与标势P满足同样形式的微分方程，即泊松方程。在三维 空间中，(3.1-7)式可分解为三个分量方程。如采用直角坐标系，分量方程为 (V2A0,=V2A,=-W,(i=1,2,3) (3.1-8) 在柱面坐标系和球面坐标系中，(3.1-7)式的分量方程形式比较复杂。参见附录。 在由均匀线性介质构成的无界空间中，静电势泊松方程 V2p=-P/8 的解为 = 4π8 xav' 与此对应，这类无界空间中，(3.1-8)式的解应为 A)=名( (i=1,2,3) (3.1-9) 4πr 对三个分量式求矢量和，则有 (3.1-10) 在线电流的情况下，作代换JdP'~1',(3.1-10)式变为 (3.1-11) 对(3.1-11)式取旋度 B()=7x4=品V×()=7号× =uI dl'xr 4π中r 这正是毕奥一沙伐尔定律。 91
3.1.3 矢势边值关系 在两介质分荞面上磁场的边值关系为 n·(B2-B)=0 (3.1-12) nx(H2-H)=a (3.1-13) 将介质状态方程B=H和B=V×A代入上式后，可得矢势A的边值关系 n(V×A2-V×A)=0 (3.1-14) nx(:7xA-7x4,)= (3.1-15a) (适用于非磁性材料) n(V×A2-V×A)=w.[af+n×(M2-M;)] (3.1-15b) (适用于磁性材料B=4(H+M)) 我们还可以导出另一组以A表示的边值关系。图3-1中，对狭长回路应用 九 图3-1 fAdl=×AdS=B·dS=p, 当回路短边的长度取高阶无穷小量时，回路所包面积趋于零，则通量由中→0，可得 到t。·(A2-A)=0,即 A2=Au (3.1-16) 图3一2中，对小圆柱体应用 92
图3-2 ·Aw=fAS=0 当圆柱侧面面积取高阶无穷小量时，可推出·(A,-A)=0,即 A2=A (3.1-17) (3.1.16)和(3.1.17)式合起来得 A,=A1 (3.1-18) 即在两介质分界血上，矢势A是连续的。 此外，由于nX7x4,-4)=7n(4,-A】-:74.-A=-品(4-A, (3.1-15b)式可改写为 柔(4-A=-h,[ay+nx(M:-M】 (3.1-19) (3.1-18)和(3.1-19)两式是另一组以A表示的边值关系。可以证明，这两组边值关系是基 本一致的。 *矢势A的物理意义： f4l=∫7×Aa8=B-as=更m 表明矢势A在静磁场中沿任意闭合回路的环量等于通过以此闭合回路为边界的任意曲 面的磁通量。 3.1.4 静磁场的能量 磁场的总能量为 93