第二章静电场的标势及其微分方程 教学目的：基于Maxwell's Equations定义出电标势，并推导出静电标 势满足的微分方程—Poisson方程。 重难点：电标势的定义及其微分方程。 教学内容： 本章研究内容主要是：在给定的自由电荷分布及其周围空间介质 和导体分布的情况下，如何求解电场。需要注意有一下两点： a.电荷静止，也就是=0 b.电场不随时间变化，也就是 E-0 at 本章研究上面问题采用的方法有一下几种：分离变量法、镜像法、 格林函数法、电多极矩法。 采用这些解法的依据是：唯一性定理。 1、电场的标势和微分方程(Scalar Potential and Differential Equation for Electrostatic) 静电现象满足以下两个条件：其一是电荷静止不动：其二是场量 不随时间变化。故 j=pv=0; ⊙（物理量）=0 (3.1) 0 把静电条件代入Maxwell's Equations,即可得电场满足的方程为 V×E=0 (3.2) V.D=p 这两方程连同介质的电磁性质方程D=E是解决静电问题的基础。 根据电场方程V×E=0(即电场的无旋性)，可以引入一个标势0
在电磁学中，己知p(4)-p(B)=-E.d，因为相距为d两点的电 势差为 do=-E.dl (3.3) 由于 dp-0p dx+00 dv+2de=Vo-d (3.4) 所以 E=-Vo (3.5) 又因为在均匀各向同性的介质中有D=E,则 V.D=V.(E)=VE.E+8V.E=p (3.6) 这里Ve=0,所以可得 V.D=EV.E=8V-(-Vo)=p (3.7) 即 vp=-2 (3.8) 此方程称为Poisson方程。 若在无源区即p=0,上式化为： V2p=0 (3.9) 此方程为Laplace方程。 在各种不同条件下，求解Poisson方程是处理静电问题的基本途 径。 2.静电场的基本问题(The Fundamental Problems of Electrostatic Field) 如果电荷是连续分布的，则观察点x处的标势为：
(=，1 pdt' (3.10) 47π60 如果空间还有导体存在的话，那么物理机制为考虑到感应情况， 以上问题的模拟是： p() 感应电荷分布 而感应电荷分布反过来引起 给定电荷分布 求空间一点 →电场分布 而场引起导体上 现在，只要找出一个电荷对它邻近的电场是怎样作用的，一 点上的电场和它邻近的电场又是怎样联系的，即要找出电荷和电场相 互作用规律的微分形式，而在导体表面或其他边界上场和电荷的相互 作用关系则由边值关系和边界条件反映出来，称之为边值问题。 (1)在介质的分界面上，电场满足的边值关系为 抗×(E2-E,)=0 (3.11) 分.(D,-D)=p 且为电势所满足的边值关系： E D 介质2 ●2' 2 N, ● 介质1 1 D
在介质分界面附近取两点1和2，而△1，→0所以 9-9:--SE-di =-(Ei△l+E2·△，) (3.12) =-(E1nA+E2n△12) 由于△4，△2→0，故g-,=0,且g,=:即在界面上，电势p是连 续的。 注意： l,=,可以代替x(E2-E)=0,也就是可以代替E,=E,。 P2 P'2 62 pi 证明： 因为 9-92=0,9-p=0 可见 91-92=9-p2 而 9-g=-E,△7,9，-0；=-E2△7 故有 -E,△1=-E2A1 可得 Ev =E2 另外，由方程(D,-D,)=o可得： 方-(6，E2-6E)=o -sn.vo,+s n.vo=o 即 ao: on\s -81 g =-0 an\s
也就是说，在两种不同介质的分界面上，电势满足的关系为 p5=9g 092 09 (3.13) =-0 an\s (2)在介质与导体的分界面上的情况 由于静电平衡条件，我们知道： 导体内部E=0,导体表面上的场强与表面垂直导体是等势体：导体内 自由电荷0 导体 1 介质2 无电荷分布p=0,电荷只分布在导体的表面上σ≠0。 因此，在导体与介质的分界面上；9，=常数 ~导体内部E=0,即6 091=0 oo =一0 on \s 即有 9,=常数 -0 归纳起来，静电场的基本问题是：求出在每个区域（均匀）内满足 Poisson方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域 边界上满足条件的电势的解。 3、利用静电势来描述静电场的能量(Describing the Energy of