例3求f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]之间的根 解f(2)×f(3)=(-1)×16<0,所以(2,3)是f(x)的有根区 间 具体过程如下 f( 有根区间 6 2.5 5.625 (2,2.5) 2.25 1.890625 (2.00,2.25) 2.125 0.345703 (2,2.125) 2.0625 0.351318 (2.0625,2.125) 2.09375 0.008942 (2.09375,2.125) 109375 0.166836 (2.09375,2.109375)
例 3 求 ( ) 2 5 0 3 f x = x − x − = 在区间 [2,3] 之间的根. 解 f (2) f (3) = (−1)16 0,所以（2，3）是 f (x) 的有根区 间. 具体过程如下 x f (x) 有根区间 2 -1 3 6 2.5 5.625 （2，2.5） 2.25 1.890625 （2.00，2.25） 2.125 0.345703 （2，2.125） 2.0625 -0.351318 （2.0625，2.125） 2.09375 -0.008942 2.109375 0.166836 （2.09375，2.109375） （2.09375，2.125）
所以,x=2.1015625即为所求方程的近似解,其误差限为 0.0078125 2.牛顿迭代法 已知非曲线方程f(x)=0的根的近似值为xn,我们用曲线 y=f(x)在点x的切线(如下图) Y(x)=f(x)+(x-xn)f(x 作为曲线f(x)的近似表达式求方程 xm2Y(x)=0的根,将其记为xm,得 f(n) f(x 冈凶
所以，x = 2.1015625 即为所求方程的近似解，其误差限为 0.0078125 2 3 2 7 = − = 2．牛顿迭代法 已知非曲线方程 f (x) = 0的根的近似值为 n x ，我们用曲线 y = f (x)在 点 n x 的切线（如下图） ( ) ( ) ( ) ( ) n n n Y x = f x + x − x f x y x xn +1 xn O xn+2 作为曲线 f (x)的近似表达式.求方程 Y (x) = 0的根，将其记为 n+1 x ，得 ( ) ( ) 1 n n n n f x f x x x + = − （*）
用式(*)中xn作为方程f(x)=0的根的近似值.只要 给定方程f(x)=0的根的初始近似值x0,由公式(*)反 复选代就可得到一个近似根序列{xn},可以证明:只要该近 似根序列收敛就可断言其极限值必是f(x)=0的根但是, 由于有时初始值选择不当,由式(*)所得的迭代序列不收 敛,为此,我们给出下面的定理 定理若f(x)满足 1)在a,b上存在二阶导数,且/"(x)在该区间上不变号; (2)f(x)在区间a,b上不等于零; (3)f(a)·f(b)<0 (4)x0∈[a,b],且有f(x0)f"(x0)>0, 则由递推公式(*)而得的序列{xn}收敛于f(x)=0在 区间[a,b]内的惟一根ξ 冈凶
定理 若 f (x)满足 （1） 在a,b上存在二阶导数，且f (x) 在该区间上不变号； （2） f (x)在区间a,b上不等于零； （3） f (a) f (b) 0； （4） [ , ] x0 a b ，且有 f (x0 ) f (x0 ) 0, 则由递推公式（*）而得的序列 xn收敛于f (x) = 0 在 区间a,b内的惟一根 ξ . 用式（*） 中 n+1 x 作为方程 f (x) = 0的根的近似值.只要 给定方程 f (x) = 0的根的初始近似值 0 x ，由公式（*）反 复迭代就可得到一个近似根序列{ }n x ，可以证明：只要该近 似根序列收敛就可断言其极限值必是 f (x) = 0的根.但是， 由于有时初始值选择不当，由式（*）所得的迭代序列不收 敛，为此，我们给出下面的定理
用上述公式(*)求f(x)=0的近似根的方法被称为牛顿迭代 法,也叫切线法,下图是牛顿迭代法求根的框图 开始 8.M k=1 Y f(x)=02 Y输出奇异标志 x0<E? k<k+1 输出x1 Y 输出迭代失败标志 冈凶
用上述公式（*）求 f (x) = 0的近似根的方法被称为牛顿迭代 法，也叫切线法.下图是牛顿迭代法求根的框图. x0 x1 k k +1, 开始 N 结束 输入x 0 ,,N k=1 f ( ) = 0? x x1 −x0 ? k = N? 输出迭代失败标志 Y 输出 x1 Y x1 x 0 f( x0 ) f ( x 0 ) − N N 输出奇异标志 Y
在上面框图中,用|x1-x0k来控制精度是合理的因 为,可以证明:若用后一次迭代值x作为根ξ的近似值, 则有 12-x1|≤C|x1-x0 其中C是只与f(x)有关的确定常数,x0是前一次选代值,所 以当x1-x0|足够小时,就可保证|-x1足够小 例4用牛顿发法求√15的近似值,要求绝对误差限为10-6 解为求x=√15,需解方程 令f(x)=x2-115,由牛顿迭代公式 n+1=x 冈凶
在上面框图中，用 | − | 1 0 x x 来控制精度是合理的.因 为，可以证明：若用后一次迭代值 1 x 作为根 的近似值， 则 有 | | 1 − x ≤ | | 1 0 C x − x . 其中 C 是只与 f (x)有关的确定常数， 0 x 是前一次迭代值，所 以 当| | 1 0 x − x 足够小时，就可保证| | 1 − x 足够小. 例 4 用牛顿发法求 115 的近似值，要求绝对误差限为 6 10 − . 解 为求x = 115 ，需解方程 115 0. 2 x − = 令 ( ) 115 2 f x = x − ，由牛顿迭代公式 ， ( ) ( ) 1 n n n n f x f x x x + = −