该结果显然不正确,这是由于在计算机内计算时要对 阶,每个0.9都被看成了零.要避免这一现象,就应先把数 量级相同的数相加,然后在加上大数52492,也就避免了大 数吃掉小数 二、方程求根 方程的根:方程f(x)=0的根也叫做函数f(x)的根,或叫 做f(x)的零点 方程的根的存在性:若f(x)在闭区间a,b上连续,且 f(a)·f(b)<0,则f(x)在开区间(a,b)内至少有一实根 1.方程求根的二分法 设f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数,且在开区间 (a,b)内有惟一的单实根5,下面,我们给出求单实根5的 近似值方法 冈凶
该结果显然不正确，这是由于在计算机内计算时要对 阶，每个 0.9 都被看成了零.要避免这一现象，就应先把数 量级相同的数相加，然后在加上大数 52 492，也就避免了大 数吃掉小数. 方程的根：方程 f (x) = 0的根也叫做函数 f (x)的根，或叫 做 f (x)的零点. 方程的根的存在性：若 f (x)在闭区间a,b上连续，且 f (a) f (b) 0，则 f (x)在开区间(a,b)内至少有一实根. 1. 方程求根的二分法 设 f (x)为闭区间 a,b上的连续函数，且在开区间 (a,b)内有惟一的单实根ξ，下面，我们给出求单实根ξ的 近似值方法. 二、方程求根
取区间[a,b]的中点x a+b 考察区间[an,x0]及[x0,b 中哪一个为有根区间,即检查f(x0)与f(a)是否同号.如果确 系同号,说明所求的根5在区间[x0b中,即新的有根区间 为[x。b1,这时令a1=x0,b1=b;否则必在[a,xa]中,这时 令a1=a,b1=,即不管出现哪种情形,新的有根区间 a1,b]的长度仅为原有根区间的一半 对于新的有根区间[a1b又可施行同样的作法,即用中点 x1=+h将区间[a,b1再分为两半,然后判定所求的根在x 的哪一侧?从而确定出新的有根区间{a2b2],其长度为区间 [a12b]的一半 如此反复二分下去,即可得出一系列有根区间[a,b], a12b1],[a2,b2l,…,[ak2bk]. 其中每一个区间都是前一个区间的一半,因此,二分k 次后的有根区间[ak2b]的长度为 冈凶
取区间a,b的中点 2 0 a b x + = ，考察区间 [ , ] 0 a x 及 [ , ] x0 b 中哪一个为有根区间，即检查 ( ) 0 f x 与f (a) 是否同号.如果确 系同号，说明所求的根ξ在区间 [ , ] x0 b 中，即新的有根区间 为 [ , ] x0 b ，这时令a1 = x0 ,b1 = b；否则ξ必在 [ , ] 0 a x 中，这时 令 a1 = a ， 1 0 b = x ，即不管出现哪种情形，新的有根区间 [ , ] a1 b1 的长度仅为原有根区间的一半. 如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间 [a,b]， [ , ] a1 b1 ，[ , ] a2 b2 ,,[ , ] ak bk . 其中每一个区间都是前一个区间的一半，因此，二分 k 次后的有根区间 [ , ] ak bk 的长度为 对于新的有根区间[ , ] a1 b1 又可施行同样的作法，即用中点 2 1 1 1 a b x + = 将区间[ , ] a1 b1 再分为两半，然后判定所求的根ξ在 1 x 的哪一侧？从而确定出新的有根区间 [ , ] a2 b2 ，其长度为区间 [ , ] a1 b1 的一半
b-a 由此可见,如果二分过程无限的继续下去,这些有根区间必收 缩于点ξ,该点就是所求的根每次二分后,若取有根区间的中点 作为根的近似值,则在二分过程中,可获得一个近似根序列 xk},该序列必以根为极限 , -a b-a 由于 所以,只要二分足够多次(即k充分大),便有 .<8 冈凶
. 2 k k k b a b a − − = 由此可见,如果二分过程无限的继续下去，这些有根区间必收 缩于点ξ,该点就是所求的根.每次二分后，若取有根区间的中点 2 k k k a b x + = 作为根的近似值，则在二分过程中，可获得一个近似根序列 { }k x ,该序列必以根ξ为极限 由于 , 2 2 +1 − = − − k k k k b a b a x 所以，只要二分足够多次（即 k 充分大），便有 − . k x
这里c为事先给定的精度,再注意到-x4<-a, 所以,在实际计算时,只需某个有根区间的长度小于E,我 们就可以停止计算,并取该有根区间的中点作为根5的近似 值 上述求根的方法被称为方程求根的二分法,简称为二分法 下面的图框(如下页图)简单明了地描述了该方法 各框的具体含义为: 框①:输入有根区间a,b及近似根的精度E; 框②:开始二分; 框③:判断二分后新的有跟区间; 框④:检查是否满足精度; 框⑤:输出近似根x 冈凶
这里 为事先给定的精度，再注意到 k − x ≤ 2 k k b − a ， 所以，在实际计算时，只需某个有根区间的长度小于ε，我 们就可以停止计算，并取该有根区间的中点作为根ξ的近似 值. 上述求根的方法被称为方程求根的二分法，简称为二分法. 下面的图框（如下页图）简单明了地描述了该方法. 各框的具体含义为： 框① ：输入有根区间a,b及近似根的精度 ； 框 ② ：开始二分； 框 ③ ：判断二分后新的有跟区间； 框 ④ ：检查是否满足精度； 框 ⑤ ：输出近似根 x
匚开始 输入,b,c① yo cf(a a+b fG 求y>0 bex 4 bIsa 输出 结 冈凶
开始 输入a ,b ,c y0 f(a) N y0 y 0? bx a−b ? 输出x N ① ② ③ ④ ⑤ 结束 , ( ) 2 x y = f x a+b ax Y Y