上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢?请读者作 出进一步的讨论 例1求imsn(1-x2) x→1 解sin(1-x2)可视为g(n)=sinl,=(1-x2)的复 合,所以 limin(1-x)=sin(lim(1-x)=0. x→1 x→)1 前页】后页)返回
前页 后页 返回 上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢? 请读者作 limsin(1 ) sin(lim(1 )) 0. 2 1 2 1 − = − = → → x x x x limsin(1 ). 2 1 x x − → 例1 求 2 2 解 sin(1 ) ( ) sin , (1 ) − = = − x g u u u x 可视为 的复 合，所以 出进一步的讨论
例2求im12 Sinx x→>0 解因为g()=a在u=1连续,所以 SIn d lim 2 im(2 sinx √2-1=1. x→>0 x→)1 例3求lmsn(1+1) 900 解因为im(1+1y=e,sn在点n=e连续,所以 x→0 lim sin(1+x)=sine x→0 前页】后页)返回
前页 后页 返回 例2 . sin lim 2 0 x x x − → 求 解 因为 g u u u ( ) 1 , = = 在 连续 所以 ) 2 1 1. sin lim(2 sin lim 2 0 1 − = − = − = → → x x x x x x 例3 ) . 1 lim sin(1 x x x + → 求 解 1 lim(1 ) e , sin e , x x u u → x 因为 + = = 在点 连续 所以 ) sine. 1 lim sin(1+ = → x x x
二、闭区间上连续函数的性质 设∫在闭区间a,b上连续在本节中将研究∫在 Ia,b]上的整体性质,证明将在第七章里给出 定义1设f(x)为定义在数集D上的一个函数,若 存在x0∈D,使得对一切x∈D,均有 f∫(x)S∫(x0)(f(x)≥f(x0), 则称f(x)在D上有最大(小)值,x称为最大(小值 点,f(x)称为f(x)在D上的最大(小值 前页】后页)返回
前页 后页 返回 存在x0 D ,使得对一切 x D, 均有 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ), 0 x0 f x f x f x f [ , ] , . a b 上的整体性质 证明将在第七章里给出 设 f 在闭区间 [a,b]上连续. 在本节中将研究 f 在 二、闭区间上连续函数的性质 定义1 设 f x D ( ) . 为定义在数集 上的一个函数 若 则称 f x D ( ) ( ) , 在 上有最大 小 值 0 x 称为最大( ) 小 值 0 点, f x f x D ( ) ( ) ( ) . 称为 在 上的最大 小 值
例如,符号函数y=sgnx的最大值为1,最小值为-1; 正弦函数y=sinx的最大值为1,最小值为-1;函数 y=x-[x的最大值不存在,最小值为零注意: y=sinx在(-。,)上既无最大值,又无最小值 22 (其上确界为1,下确界为-1) 定理46(最大、最小值定理)若函数f(x)在闭区 间a,b上连续,则f(x)在[a,b上有最大、最小值 这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的 前页】后页)返回
前页 后页 返回 y = x −[x] 的最大值不存在,最小值为零.注意: 既无最大值,又无最小值. 2 2 y x = − π π sin ( , ) 在 上 定理4.6（最大、最小值定理） 若函数 f x( ) 在闭区 间 上连续， [ , ] a b 则 在 上有最大、最小值 f x a b ( ) [ , ] . 例如,符号函数 y = sgn x 的最大值为1,最小值为-1; 正弦函数 y = sin x 的最大值为1,最小值为-1;函数 (其上确界为1, 下确界为-1 ) 这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
内涵,在今后的学习中有很广泛的应用 推论若函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x) 在{a,b上有界 这是因为由定理46可知,函数f(x)有最大、最小 值,从而有上界与下界,于是∫(∞x)在[a,b上是有 界的. 函数∫(x)=-,x∈(0,1)虽然也是连续函数,但是 在(0,1)上无界 前页】后页)返回
前页 后页 返回 推论 若函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续 , 则 f (x) 在[a ,b]上有界. 在(0, 1) . 上无界 这是因为由定理4.6 可知, 函数 有最大、最小 f x( ) 值, 从而有上界与下界,于是 f (x) 在[a, b] 上是有 1 f x x ( ) , (0 , 1) x 函数 = 虽然也是连续函数,但是 内涵,在今后的学习中有很广泛的应用. 界的