数学期望：对随机变量取值水平的综合评价，加权平均值方差：随机变量的取值偏离其中心的情况，即稳定性的好坏中知识框杂方 差D(X)=E([X -E(X)})D(X)= E(X)-[E(X)]离散型随机变量连续型随机变量定D(X)=[x - E(X)} f(x)dx-E(X)Pk一维：D(X)=X义k=l性11) D(c)= 0 : 2) D(cX)= c’D(X):质3）X，Y相互独立=D(X±Y)=D(X)+D(Y)：4)X,X2,X,相互独立=D(C,X)=C,D(X,)i=lisl5)D(X)=0的充分必要条件为P(X=c)=1随机变量的数学中讲教新课期望是对随机变量取值水平的综合评价.一、方差的概念E(X - EX)?描述随机变量与均值定义1设X是随机变量，E([X-E(X)}}存在，就称其为X的方差，记的偏离程度.为D(X)（或DX)，即方差与标准差D(X)=E([X -E(X)))都是用来描述随机变称D(X)为标准差，记为o(X)，或αx：量X的取值与其数学期望E(X)的偏1.若X是离散型随机变量，分布律为Pk=P(X=x),k=1,2,"；则离的平均程度.D(X)=Z[x -E(X)}’ pk若D(X)较小，则X的取值比较2.若X是连续型随机变量，它的密度函数为f(x)，则集中在数学期望E(X)的附近：D(X)=[x -E(X)]f(x)dx若D(X)较3. D(X)= E(X)-[E(X))2大，则表明X的取值证明D(X)=E([X -E(X)P) =E(X?-2XE(X)+[E(X)])比较分散．因此D(X)、x是刻画= E(X)-2E(X)E(X)+[E(X)} = E(X)-[E(X)}?X取值的集中与分例1设X的分布列如下散程度的两个特征-101X数.P0.30.60.1方差与标准差的之间的差别主要在求D(X)：(0.36)量纲上，由于标准差(3x2，0≤x≤1例2设随机变量X的概率密度为f(x）求D(X)与所讨论的随机变其它0,量、数学期望有相同的量纲，所以在实际二、方差的性质中，人们更愿意选用标准差，但标准差的计算必须通过方差才1.设c是常数，则有D(c)=0;能得到.2.设c是常数，则有D(cX)=c2D(X)：3.设X，Y是相互独立的随机变量，则有D(X±Y)=D(X)+D(Y)：证明性质3-72-
- 72 - 数学期望：对随机变量取值水平的综合评价，加权平均值. 方 差：随机变量的取值偏离其中心的情况，即稳定性的好坏. *知识框架 方 差 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 离散型随机变量 连续型随机变量 定 义 一维： D X( ) = = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x D X( ) = + − [x − E(X )] f (x)dx 2 性 质 1） D(c) = 0 ；2） ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3） X ，Y 相互独立 D X Y D X D Y ( ) ( ) ( ) = + ； 4） X X Xn , , , 1 2 相互独立 = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5） D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = = *讲授新课 一、 方差的概念 定义 1 设 X 是随机变量， {[ ( )] } 2 E X − E X 存在，就称其为 X 的方差，记 为 D X( ) (或 DX )，即 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 称 D(X ) 为标准差，记为 ( ) X ，或 X ． 1.若 X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k = 1,2, ；则 D X( ) = = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x 2.若 X 是连续型随机变量，它的密度函数为 f (x) ，则 D X( ) = + − [x − E(X )] f (x)dx 2 3. 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 证明 D X( ) = 2 E X E X {[ ( )] } − = { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 E X − XE X + E X 2 2 = − + E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 = − E X E X ( ) [ ( )] 例 1 设 X 的分布列如下 X −1 0 1 P 0．3 0．6 0．1 求 D(X ) ．（0.36） 例 2 设随机变量 X 的概率密度为 2 3 , 0 1 ( ) 0, = x x f x 其它 ，求 D(X ) ． 二、 方差的性质 1．设 c 是常数，则有 D(c) = 0 ； 2．设 c 是常数，则有 ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3．设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 D X Y D X D Y ( ) ( ) ( ) = + ； 随机变量的数学 期望是对随机变量取 值水平的综合评价． 2 E X EX ( ) − 描述随机变量与均值 的偏离程度． 方 差 与 标 准 差 都是用来描述随机变 量 X 的取值与其数 学期望 E X( ) 的 偏 离的平均程度． 若 D(X ) 较 小，则 X 的取值比较 集中在数学期望 E X( ) 的附近； 若 D(X ) 较 大，则表明 X 的取值 比较分散．因此 D(X ) 、 X 是刻画 X 取值的集中与分 散程度的两个特征 数． 方 差 与 标 准 差 的之间的差别主要在 量纲上，由于标准差 与所讨论的随机变 量、数学期望有相同 的量纲，所以在实际 中，人们更愿意选用 标准差，但标准差的 计算必须通过方差才 能得到． 证明性质 3
第4章数字特征概率论与数理统计教案≤C?D(X).4.设X,X,，,X是相互独立的随机变量，则Dc,X）=i=li=l正态分布密度5.D(X)=0的充分必要条件为P(X=c)=1(这里c=E(X)).函数中的两个参数例3设随机变量X具有E(X)=u，D(X)=αα>0，令和?分别就是该X"_X-E(N)分布的数学期望和方差，因而正态分布完D(X)全可由它的数学期望求E(X*), D(X*).和方差所确定，在概率论中，通常称 X=EC为随机变量X 的“标准化"，标准化后的D(X)随机变量的特征是E(X*)=0注三、切比雪夫不等式1.DX越小，随机变量X取值于区间切比雪夫不等式设随机变量X的期望和方差均存在，则对任意>0,有(EX-6,EX+8)DX的概率就越大：切比P[IX-EX|≥3雪夫不等式阐明了方差DX的本质：方差等价形式为是一个反映随机变量P(X-EX]<6)≥1- DXX的取值对其分布中心EX的集中程证明(仅证明X是连续型随机变量的情形)度的数量指标.设X的概率密度为f(x),则对任意ε>0有2．对于方差存在的随机变量X，在其分(IX-EX|≥}=[F(x)dx布未知的情况下，我[xEX|≥6们可以利用切比雪夫(x- EX)?不等式粗略地估算Mf(x)dxX在以数学期望为Jr-Ex/ze?中心的对称区间上的概率DX(x-EX)f(x)dx= LPIX-EX<)2的大小.例4设随机变量X的数学期望EX=10，方差DX=0.04,利用切比雪夫不等式估计P9.2<X<11的大小*固练司1. 若 DX=2,则 D(3X)=(D)X[-1|011B. 17C. 2A.16D. 18p0.310.30.42.设随机变量X的概率分布为，则DX=(A).D. 18A. 0. 69B0.17C. 243.设EX=μ,DX=α2，则由切比雪夫不等式可知P(X-μ≥3α≤（D）.261A.B.D.C.93394.设DX=0.004，则由切比雪夫不等式可知P/X-EX<0.2≥（D）.A.0.01B.0.020.8D.0.9C.*小结-73-
概率论与数理统计教案 第 4 章 数字特征 - 73 - 4.设 X X Xn , , , 1 2 是相互独立的随机变量，则 = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( )． 5. D X( ) 0 = 的充分必要条件为 P X c { } 1 = = (这里 c E X = ( ) )． 例 3 设随机变量 X 具有 E X( ) = ， 2 D X( ) , 0 = ，令 ( ) ( ) X E X X D X − = 求 ( ) E X ， D X( ) ． 在概率论中，通常称 ( ) ( ) X E X X D X − = 为随机变量 X 的“标准化”，标准化后的 随机变量的特征是 ( ) 0 E X = ． 三、切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 设随机变量 X 的期望和方差均存在,则对任意 0 ,有 2 DX P X EX − 等价形式为 2 1 DX P X EX − − 证明 (仅证明 X 是连续型随机变量的情形) 设 X 的概率密度为 f (x) ,则对任意 0 ,有 P X EX − = x−EX f (x)dx − − x EX f x dx x EX ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) DX x EX f x dx + − − = ． 例 4 设随机变量 X 的数学期望 EX =10 ，方差 DX = 0.04, 利用切比雪夫不 等式估计 P X 9.2 11 的大小． 正 态 分 布 密 度 函数中的两个参数 和 2 分别就是该 分布的数学期望和方 差，因而正态分布完 全可由它的数学期望 和方差所确定． 注 1. DX 越小，随机变 量 X 取值于区间 ( , ) EX EX − + 的概率就越大．切比 雪夫不等式阐明了方 差 DX 的本质：方差 是一个反映随机变量 X 的取值对其分布 中心 EX 的集中程 度的数量指标． 2. 对于方差存在的 随机变量 X ，在其分 布未知的情况下，我 们可以利用切比雪夫 不等式粗略地估算 X 在以数学期望为 中心的对称区间上的 概率 P X EX {| | } − 的大小． *巩固练习 1. 若 DX=2,则 D(3X )=(D). A.16 B.17 C.2 D. 18 2.设随机变量 X 的概率分布为，则 DX=(A). A.0.69 B 0.17 C.24 D. 18 3.设 2 EX DX = = , ,则由切比雪夫不等式可知 P X − 3 ( D ). A. 8 9 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 9 4.设 DX = 0.004 ,则由切比雪夫不等式可知 P X EX − 0.2 ( D ). A. 0.01 B. 0.02 C. 0.8 D. 0.9 X -1 0 1 P 0.3 0.3 0.4 *小结