∠PFM=90°,易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2 m,可得M(m+2,m-2),理由待定系数法即可解决 问题;情形2,如图,四边形PMPN是正方形,同法可得 M(m-2,2-m),利用待定系数法即可解决问题. 【解答】解:(1)由题意抛物线的顶点D(O,4),A( 2V2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4, 把A(-2√2,0)代入可得a=-1 ∴抛物线C的函数表达式为y=-1x2+4 (2)由题意抛物线C的顶点坐标为(2m,-4),设抛物 线C的解析式为y=1(x-2m)2-4, y=-。x+4 由 ,消去y得到x2-2mx+2m2-8 y=(x-2m)2-4 由题意,抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的 公共点, (2m)2-4(2m2-8)>0 则有{2am>0 解得2<m<2√2, (2m2-8>0 ∴满足条件的m的取值范围为2<m<2√2 (3)结论:四边形PMPN能成为正方形 理由:1情形1,如图,作PE⊥X轴于E,MH⊥X轴于H 第6页共29
第 6 页 共 249 页 ∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得 PE=FH=2，EF=HM=2 ﹣m，可得 M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决 问题；情形 2，如图，四边形 PMP′N 是正方形，同法可得 M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点 D（0，4），A（﹣ 2 ，0），设抛物线的解析式为 y=ax2+4， 把 A（﹣2 ，0）代入可得 a=﹣ ， ∴抛物线 C 的函数表达式为 y=﹣ x 2+4． （2）由题意抛物线 C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物 线 C′的解析式为 y= （x﹣2m）2﹣4， 由 ，消去 y 得到 x 2﹣2mx+2m2﹣8=0， 由题意，抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的 公共点， 则有 ，解得 2＜m＜2 ， ∴满足条件的 m 的取值范围为 2＜m＜2 ． （3）结论：四边形 PMP′N 能成为正方形． 理由：1 情形 1，如图，作 PE⊥x 轴于 E，MH⊥x 轴于 H．
N 由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时, 四边形PMPN是正方形, PF=FM,∠PFM=90°, 易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m, ∴M(m+2, 2), ∵点M在y=-1x2+4上, ∴m-2=-1(m+2)2+4,解得m=√17-3或-√17-3(舍 弃), ∴m=√17-3时,四边形PMPN是正方形 情形2,如图,四边形PMPN是正方形,同法可得M(m 2,2-m), 把M(m-2,2-m)代入y=-1x2+4中,2-m=-1(m 第7页共29
第 7 页 共 249 页 由题意易知 P（2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时， 四边形 PMP′N 是正方形， ∴PF=FM，∠PFM=90°， 易证△PFE≌△FMH，可得 PE=FH=2，EF=HM=2﹣m， ∴M（m+2，m﹣2）， ∵点 M 在 y=﹣ x 2+4 上， ∴m﹣2=﹣ （m+2）2+4，解得 m= ﹣3 或﹣ ﹣3（舍 弃）， ∴m= ﹣3 时，四边形 PMP′N 是正方形． 情形 2，如图，四边形 PMP′N 是正方形，同法可得 M（m ﹣2，2﹣m）， 把 M（m﹣2，2﹣m）代入 y=﹣ x 2+4 中，2﹣m=﹣ （m
2)2+4,解得m=6或0(舍弃), ∴m=6时,四边形PMPN是正方形 综上,四边形PMPN能成为正方形,m=17-3或6 【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方 形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根 与系数的关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴 题 3.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下 的定义:若在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的 距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点. (1)当⊙O的半径为2时, ①在点P1(1,0)·),P3(5,0)中,⊙O的 关联点是P2,P ②点P在直线y=-x上,若P为⊙O的关联点,求点P的 横坐标的取值范围 (2)⊙C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x 轴、y轴交于点A、B.若线段AB上的所有点都是⊙C的 关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围. 【分析】(1)①根据点P1(1,0),pP2(1,3,P3(5, 0),求得OP1=1,OP2=1,OP3=5,于是得到结论;②根据 定义分析,可得当最小y=-x上的点P到原点的距离在1 到3之间时符合题意,设P(x,-x),根据两点间的距离 第8页共249
第 8 页 共 249 页 ﹣2）2+4，解得 m=6 或 0（舍弃）， ∴m=6 时，四边形 PMP′N 是正方形． 综上，四边形 PMP′N 能成为正方形，m= ﹣3 或 6． 【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方 形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根 与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴 题． 3．在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下 的定义：若在图形 M 上存在一点 Q，使得 P、Q 两点间的 距离小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为 2 时， ①在点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中，⊙O 的 关联点是 P2，P3 ． ②点 P 在直线 y=﹣x 上，若 P 为⊙O 的关联点，求点 P 的 横坐标的取值范围． （2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B．若线段 AB 上的所有点都是⊙C 的 关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 【分析】（1）①根据点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ， 0），求得 OP1= ，OP2=1，OP3= ，于是得到结论；②根据 定义分析，可得当最小 y=﹣x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合题意，设 P（x，﹣x），根据两点间的距离
公式即可得到结论 (2根据已知条件得到A(1,0),B(0,1),如图1,当 圆过点A时,得到C(-2,0),如图2,当直线AB与小 圆相切时,切点为D,得到C(1-√2,0),于是得到结论 如图3,当圆过点A,则AC=1,得到C(2,0),如图4, 当圆过点B,连接BC,根据勾股定理得到C(2√2,0), 于是得到结论 【解答】解:(1①∵点P1(1,0),P2(1,,P3(5, ∴OP1=1,OP2=1,OP32=5, ∴P1与⊙O的最小距离为3,P2与⊙O的最小距离为1, OP3与⊙O的最小距离为1, ∴⊙O,⊙O的关联点是P2,P3; 故答案为:P2,P3; ②根据定义分析,可得当最小y=x上的点P到原点的距 离在1到3之间时符合题意, ∴设P(x,-x),当OP=1时, 由距离公式得,OP=(x0)2+(-x0)2=1 ,当OP=3时,OP 解得:X30)24(x0)23, ∴点P的横坐标的取值范围为:-3≤x≤-√,或≤ 32 (2)∴直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B, 第9页共29
第 9 页 共 249 页 公式即可得到结论； （2 根据已知条件得到 A（1，0），B（0，1），如图 1，当 圆过点 A 时，得到 C（﹣2，0），如图 2，当直线 AB 与小 圆相切时，切点为 D，得到 C（1﹣ ，0），于是得到结论； 如图 3，当圆过点 A，则 AC=1，得到 C（2，0），如图 4， 当圆过点 B，连接 BC，根据勾股定理得到 C（2 ，0）， 于是得到结论． 【解答】解：（1）①∵点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ， 0）， ∴OP1= ，OP2=1，OP3= ， ∴P1 与⊙O 的最小距离为 ，P2 与⊙O 的最小距离为 1， OP3 与⊙O 的最小距离为 ， ∴⊙O，⊙O 的关联点是 P2，P3； 故答案为：P2，P3； ②根据定义分析，可得当最小 y=﹣x 上的点 P 到原点的距 离在 1 到 3 之间时符合题意， ∴设 P（x，﹣x），当 OP=1 时， 由距离公式得，OP= =1， ∴x= ， 当 OP=3 时，OP= =3， 解得：x=± ； ∴点 P 的横坐标的取值范围为：﹣ ≤x≤﹣ ，或 ≤ x≤ ； （2）∵直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B
∴A(1,0),B(0, 如图1, 当圆过点A时,此时,CA=3, ∴C(-2,0), 如图2, 当直线AB与小圆相切时,切点为D, ∴CD=1, ∵直线AB的解析式为y=-x1, ∴直线AB与x轴的夹角=45°, ∴AC=√2 C(1-N2,0), ∴圆心C的横坐标的取值范围为:-2≤xc≤1-√2 第10页共
第 10 页 共 249 页 ∴A（1，0），B（0，1）， 如图 1， 当圆过点 A 时，此时，CA=3， ∴C（﹣2，0）， 如图 2， 当直线 AB 与小圆相切时，切点为 D， ∴CD=1， ∵直线 AB 的解析式为 y=﹣x+1， ∴直线 AB 与 x 轴的夹角=45°， ∴AC= ， ∴C（1﹣ ，0）， ∴圆心 C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ ；