从几何上看，曲线y=xsin在x=0近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线y=土x所限制y0.1y=x1y=xsin0.05xX0.1-0.1-0.05y=-X-0.1前页后页返回
前页 后页 返回 x y x 1 从几何上看，曲线 = sin 在 x = 0 近旁发生无 限密集的振动，其振幅被两条直线 y = x 所限制. y -0.1 -0.05 0.05 0.1 -0.1 -0.05 O 0.05 0.1 x y = x x y x 1 = sin y = −x
二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给出如下定义。设当x→x,时，f(x),g(x)均是无穷小量.(a) =0 则称 x-→ x 时 (x) 是关于 g(g)1. 若 limg(x)x-→xo后页返回前页
前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍 ( ) ( ) x x f (x) g(x) g x f x x x 1. 若 lim 0，则 称 0 时 是关于 0 = → → ( ), ( ) . 设当 x → x0 时，f x g x 均是无穷小量 出如下定义. 两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察 是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的
的高阶无穷小量，记作f(x) =o(g(x)) (x→x) .当f(x）为x→x,时的无穷小量时，我们记f(x)=0(1) (x→ x,) 例如:1-cosx =o(x)(x→ 0);sin x = o(1) (x→ 0);xk+1 =0(xk) (x→0, k >0) 后页返回前页
前页 后页 返回 的高阶无穷小量，记作 ( ) ( ( )) ( ) . x o g x x x0 f = → ( ) (1) ( ) . x o x x0 f = → ( ) ( 0, 0 ) . 1 = → + x o x x k k k sin x = o (1) (x → 0 ); 例如： 1 − cos x = o(x) (x → 0 ) ; 0 当 为 时的无穷小量时，我们记 f x x x ( ) →
2.若存在正数 K和 L，使得在xo的某一空心邻域U(x) 内, 有f(x)L≤≤M,g(x)则称f(x)与g(x)是x→xo时的同阶无穷小量根据函数极限的保号性，特别当f(x)lim=C±0g(x)x-→xo时，这两个无穷小量一定是同阶的例如：当x→0时，1-cosx与x2是同阶无穷小量；前页后页返回
前页 后页 返回 2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域 ( ) U x0 内，有 , ( ) ( ) M g x f x L 根据函数极限的保号性，特别当 0 ( ) ( ) lim 0 = → c g x f x x x 时，这两个无穷小量一定是同阶的. 例如: 当 x → 0 时, 1− cos x 与 2 x 是同阶无穷小量; 则称 与 是 0 x → x 时的同阶无穷小量. f (x) g(x)
1当x→0 时，x与x2+sin是同阶无穷小量Xf(x)≤L,3.若两个无穷小量在U（x）内满足：g(x)则记 f(x)=0(g(x)) (x→ xo)f(x)为x→x,时的有界量时，我们记f(x)=0(1) (x→x)应当注意，若f(x)，g(x)为x→x,时的同阶无穷小量，当然有后页返回前页
前页 后页 返回 3. 若两个无穷小量在 ( ) U x0 内满足: , ( ) ( ) L g x f x 则记 ( ) ( ( )) ( ). x O g x x x0 f = → 当 x → 0 时，x 与 + x x 1 2 sin 是同阶无穷小量. ( ) , f x 为 x → x0 时的有界量时 我们记 ( ) (1) ( ) . x O x x0 f = → 应当注意，若 f (x) , g(x) 为 x → x0 时的同阶无 穷小量，当然有