S3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时，牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之问的联系；本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之问的联系。一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性前页后页返回
前页 后页 返回 §3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性 在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系. 一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性 返回
一、格林公式设区域D的边界L是由L一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走图21-12时，区域D总在它的左边如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为L。后页返回前页
前页 后页 返回 一、格林公式 设区域 D 的边界 L 是由 一条或几条光滑曲线所 组成.边界曲线的正方向 规定为:当人沿边界行走 时,区域D 总在它的左边, 如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 图 21 12 − L D L . 为负方向 − ,记为
定理21. 11若函数 P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上有连续的一阶偏导数，则有(00-0%)ddo = Φ, Pdx + Qdy,(1)axayD这里L为区域D的边界曲线，并取正方向公式(1)称为格林公式证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形作出证明：(i)若D既是x型又是y型区域（图21-13),则可表为后页返回前页
前页 后页 返回 定理21.11 若函数 P x y Q x y ( , ), ( , ) 在闭区域D上 有连续的一阶偏导数, 则有 d d d , L D Q P P x Q y x y − = + (1) 这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向. 公式(1)称为格林公式. 证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形 (i) 若 D既是 x型又是 y型区域(图21-13), 则可表为 作出证明:
P(x)≤y≤P(x), a≤x≤by又可表为EβBW(p)yi(y)<x≤y,(y),α≤y≤β.92(x)DA这里 =(x)和 y=2(x) 分)yαC gi(x)别为曲线 ACB和 AEB的方a0lb x程,而x=(y)和x=,(y)则图21-13分别是曲线 CAE和 CBE 的方程.于是后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 ( ) ( ), , x y x a x b 又可表为 1 2 ( ) ( ), . y x y y 1 y x = ( ) 2 这里 和 y x = ( ) 分 分别是曲线 CAE 和 CBE 的方程. 于是 别为曲线 ACB 和 AEB 的方 1 x y = ( ) 2 程, 而 和 x y = ( ) 则 O x 1 ( ) x A b E a B C 2 ( ) x y D 图 21-13
2() 0QFdxdyaxyi(y)axDQ(y,(y), y)dy -Q(y,(y), y)dyQ(x, y)dy - Jcar Q(x, y)dyCBECAEQ(x, y)dy + JeacQ(x, y)dyBEFA=Φ,0(x, y)dy.同理又可证得前页后页返回
前页 后页 返回 21 ( ) ( ) d d d yy D Q Q y x x x = 2 1 Q y y y Q y y y ( ( ), )d ( ( ), )d = − ( , )d ( , )d CBE CAE = − Q x y y Q x y y ( , )d ( , )d CBE EAC = + Q x y y Q x y y ( , )d . L = Q x y y 同理又可证得