S1 二重积分概念二重积分是定积分在平面上的推广，不同之处在于：定积分定义在区间上，区间的长度容易计算，而二重积分定义在平面区域上，其面积的计算要复杂得多。一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质前页后页返回
前页 后页 返回 §1 二重积分概念 二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多. 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质 返回
一、平面图形的面积平面有界图形：所谓一个平面图形P是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形R，使得PcR。yV0x图21-1后页返回前页
前页 后页 返回 一、平面图形的面积 平面有界图形: 所谓一个平面图形P 是有界 的,是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界 点集, 即存在一矩形 R , 使得 P R . O y x P 图21 1 −
ojx图 21-1(i) △,上的点都是P的内点;(ii) △,上的点都是 P的外点,即 △,nP=;(ii)△;上含有 P的边界点.后页返回前页
前页 后页 返回 (i) i 上的点都是 P 的内点; i ; (ii) 上的点都是 P 的外点, 即 = i P (iii) i 上含有 P 的边界点. O y x P 图21 1 −
将所有属于第(i)类小矩形（图21-1中紫色部分）的面1积加起来，记这个和数为11Sp(T), 则有 Sp(T)≤△,(这x0图21-1里△表示包含P的那个矩形R的面积);将所有第(i)类与第(ii)类小矩形的面积加起来（图21-1中未着色部分），记这个和数为Sp(T),则有 Sp(T)≤Sp(T)后页返回前页
前页 后页 返回 将所有属于第(i) 类小矩形 (图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来,记这个和数为 里 R 表示包含P 的那个矩 形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (ii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中未着色部分),记这个和数为 ( ), S T P ( ) ( ). P P 则有 s T S T O y x P 图21 1 − ( ), P s T 则有 ( ) P R s T (这
内面积、外面积：记Ip= sup(sp(T), Ip = inf(S,(T)),TT显然有:0≤Lp≤Ip.(1)通常称I,为P的内面积，Ip为P的外面积定义1 若平面图形P满足I=Ip，则称P为可求面积的图形,并把共同值 I,=Ip=Ip作为 P的面积后页返回前页
前页 后页 返回 sup{ ( )}, inf{ ( )}, P P P P T T I s T I S T = = 显然有： 0 . (1) I I P P P 通常称 I 为 P 的内面积, I P 为 P 的外面积. P 定义1 若平面图形 P 满足 I = I P , 则称 P 为可求面 积的图形,并把共同值 P P P I I I = = 作为 P 的面积. 内面积、外面积：记