S 4 二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量换公式，并用格林公式加以证明.特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换前页后页返回
前页 后页 返回 §4 二重积分的变量变换 本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论. 一、二重积分的变量变换公式 返回 三、二重积分的广义极坐标变换 二、二重积分的极坐标变换
一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中，我们得到了如下结论：设f(x)在区间[a,b]上连续,x=(t)当 t从α变到β时严格单调地从a变到b,且p(t)连续可导,则J" f(x)dx=f f(o(t)p'(t)dt.(1)当α< β(即 β'(t)>0)时, 记X=[a,b], Y=[α, β], 则X=(Y),Y=β-(X).利用这些记号,公式(1)又可写成后页返回前页
前页 后页 返回 一、二重积分的变量变换公式 在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续, x t = ( ) 当 t 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( )t 连续可导, 则 ( )d ( ( )) ( )d . (1) b a f x x f t t t = 当 (即 ( ) 0 t )时, 记 X a b Y = = [ , ], [ , ], 则 1 X Y Y X ( ), ( ). − = = 利用这些记号, 公式(1)又可 写成
Jxf(x)dx= J(2)x f(p(t)p'(t)dt.0-1(X)当α>β(即β(t)<0)时,(1)式可写成J,(x)dx=-J,x)(0(0)(t)dt.(3)故当β(t)为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可统一写成如下的形式：J,(x)dx=J(x)((0)0(0)dt.(4)下面要把公式(4)推广到二重积分的场合.为此先给出下面的引理后页返回前页
前页 后页 返回 1 ( ) ( )d ( ( )) ( )d . (2) X X f x x f t t t = − 当 (即 ( ) 0 t )时, (1)式可写成 1 ( ) ( )d ( ( )) ( )d . (3) X X f x x f t t t = − − 故当 ( )t 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可 统一写成如下的形式: 1 ( ) ( )d ( ( )) | ( ) |d . (4) X X f x x f t t t = − 下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理
引理 设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域^，一对一地映成xy平面上的闭区域D.函数x(u,v),y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式a(x, y)+0, (u,v)e△,J(u,v)=a(u, v)则区域D的面积μ(D) = [[1 J(u, v) [dudv.(5)A后页返回前页
前页 后页 返回 引理 设变换 T x x u v y y u v : ( , ), ( , ) = = 将uv平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 一对一地 映成xy平面上的闭区域D. 函数 x u v y u v ( , ), ( , ) 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ( , ) ( , ) 0, ( , ) , ( , ) x y J u v u v u v = 则区域 D 的面积 ( ) | ( , ) |d d . D J u v u v = (5)
证下面给出当y(u，)在△内具有二阶连续偏导数时的证明.（注：对y(u,v)具有一阶连续偏导数条件下的一般证明,将在本章$9中给出.)由于T是一对一变换,且J(u,v)≠0,因而T把△的内点变为D的内点,所以^的按段光滑边界曲线L也变换为D 的按段光滑边界曲线Lp设曲线L的参数方程为u=u(t), v=v(t)(α≤t≤β).由于L按段光滑,因此u'(t),v(t)在[α,β]上至多除后页返回前页
前页 后页 返回 证 下面给出当 y u v ( , ) 在 内具有二阶连续偏导数 时的证明. ( 注: 对 y u v ( , ) 具有一阶连续偏导数条件 下的一般证明,将在本章§9 中给出. ) 由于T 是一对一变换, 且 J u v ( , ) 0, 因而T 把 的 内点变为D 的内点 L , 所以 的按段光滑边界曲线 也变换为D 的按段光滑边界曲线 LD . 设曲线 L 的参数方程为 u u t v v t t = = ( ), ( ) ( ). L 由于 按段光滑, 因此 u t v t ( ), ( ) 在 [ , ] 上至多除