第九章数项级数 §1.预备知识:上极限和下极限 1.证明:若微分方程xy"+y+xy=0有多项式解 y=a+4x+a2x2+…+ax", 则必有a1=0(i=1,2,…,n) 2.试确定系数a6,a1…an…使∑anx满足勒让德方程 §2.级数的收敛性及其基本性质 1.讨论下列级数的敛散性 cOS 2n+1 (3n-2)(3n+1) a√m(n+1)(n+√n 2.求下列级数的和 (5n-4)(5+1) 第1页共11页
第 1 页 共 11 页 第九章 数项级数 §1. 预备知识：上极限和下极限 1. 证明：若微分方程 xy y xy " ' 0 + + = 有多项式解 2 0 1 2 , n n y a a x a x a x = + + + + 则必有 0 i a i n = ( = ) 2. 试确定系数 0 1 , , , , , n a a a 使 0 n n n a x = 满足勒让德方程 2 (1 ) " 2 ' ( 1) 0. − − + + = x y xy l l y §2. 级数的收敛性及其基本性质 1. 讨论下列级数的敛散性： (1) 1 ; n 2 1 n n = − (2) 1 1 1 ( ); 2 3 n n n = + (3) 1 cos ; n 2 1 n = + (4) 1 1 ; n (3 2)(3 1) n n = − + (5) 1 1 . n n n n n ( 1)( 1) = + + + 2. 求下列级数的和： (1) 1 1 ; n (5 4)(5 1) n n = − +
4n2-1 (3)S(1)" (5)>r"sinn, Irk; (6)>, "cosnx, I rkI 3.设级数∑u,各项是正的,把级数的项经过组合而得到新级数∑Un,即 n=42++4+2+…+,n=0,1,2.…, 其中k=0,k<k<k2<…<k<kn<…若∑U收敛,证明原来的级数也收敛 §3.正项级数 1.利用泰勒公式估算无穷小量的阶,从而判别下列级数的收敛性 (1)∑e-(1+-)]P (3)∑(m+1-√h)ln n 2.判别下列级数的收敛性: 第2页共11页
第 2 页 共 11 页 (2) 2 1 1 ; n 4 1 n = − (3) 1 1 1 ( 1) ; 2 n n n − − = − (4) 1 2 1 ; 2 n n n = − (5) 1 sin , n n r nx = | | 1; r (6) 1 cos , n n r nx = | | 1. r 3. 设级数 1 n n u = 各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 , n n U = 即 1 1 1 2 , n n n U u u u n k k k + + + + = + + + n = 0,1,2, ， 其中 0 0 1 2 1 0, . n n k k k k k k = + 若 1 n n U = 收敛，证明原来的级数也收敛. §3. 正项级数 1. 利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1) 1 1 [ (1 ) ] ; n p n e n = − + (2) 3 ln cos ; p n n = (3) 1 1 ( 1 ) ln ; 1 p n n n n n = − + − + (4) 4 2 1 ( ). n n a n n b = + − + + 2． 判别下列级数的收敛性： (1) 2 1 1 ; n n n = +
m(2n-1)2 (a>1); 1+a h=l [In(n+Dr (11) n! In (13) (14 第3页共11页
第 3 页 共 11 页 (2) 2 1 1 1 ; (2 1)2 n n n − = − (3) 1 ; n 2 1 n n n = − − (4) 1 sin ; 2 n n = (5) 1 1 1 n n a = + ( 1); a (6) 1 1 ; n n n n = (7) 1 1 ( ) ; 2 1 n n n = + (8) 1 1 ; [ln( 1)]n n n = + (9) 1 2 ( 1) ; 2 n n n = + − (10) 1 2 sin ; 3 n n n = (11) 1 ; ! n n n n = (12) 1 ln ; 2 n n n n = (13) 1 !2 ; n n n n n = (14) 1 !3 ; n n n n n = (15) 2 1 ; 1 ( ) n n n n n = +
(16)> a(4+x1+x2)…(+x(x≥0 3·53·5·73.5.7.9 1.41.4·71.4.7·10 (18) (19) (20) 心12 (22∑一; (23) 3.若正项级数∑an收敛,an1≤an(n=12…),求证immn=0 4.已知两正项级数∑un和∑”发散,问∑max(un,n),∑min(un,v)两级数 的收敛性如何? n n≠k2,k=1,2 1 ,k=1,2, 求证:()∑an收敛 (2) lim na≠0 6.讨论下列级数的收敛性 (1) n(Inn)p 第4页共11页
第 4 页 共 11 页 (16) 2 1 (1 )(1 ) (1 ) n n n x x x x = + + + ( 0); x (17) 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 ; 1 1 4 1 4 7 1 4 7 10 + + + + (18) ln 1 1 ; n n n = (19) ln 1 1 ; (ln ) n n n = (20) ln 1 1 ; 2 n n = (21) ln 1 1 ; 3 n n = (22) 1 1 ; 3 n n = (23) 1 . 3 n n n = 3． 若正项级数 1 n n a = 收敛， n n 1 a a + ( 1, 2, ) n = ，求证 lim 0 n n na → = . 4． 已知两正项级数 1 n n u = 和 1 n n v = 发散，问 1 max( , ) n n n u v = ， 1 min( , ) n n n u v = 两级数 的收敛性如何？ 5． 设 2 2 2 2 1 , , 1,2, , 1 , 1,2, , n k a n k k n a k k = = = = 求证:(1) 1 n n a = 收敛; (2) lim 0. n n na → 6. 讨论下列级数的收敛性: (1) 2 1 ; (ln ) p n n n =
(2) an- In n- InIn n n=2 n(Inn)to In Inn n=2 n(Inn)(InIn n) 7.设an>0,且Iim1=1,求证 lima=1.反之是否成立? 8.利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性 ()∑2n=)y(p是实数 (2)ya(a+1)…(a+n-1)1 (a>0,B>0) 9.利用级数收敛的必要条件证明 (1)lim、 ) (2)1imn(2n)=0(a>1) 10.设正项级数∑a收敛证明∑√a,an也收敛 1l.设an20,且数列{man}有界,证明级数∑an2收敛 12.设lman=l,求证 收敛; ()当1<1时,∑1发散 问l=1时会有什么结论? 第5页共11页
第 5 页 共 11 页 (2) 2 1 ; n n n n ln ln ln = (3) 1 2 1 n n n n (ln ) ln ln + = ( 0); (4) 2 1 . (ln ) (ln ln ) p q n n n n = 7. 设 0, n a 且 1 lim n n n a l a + → = ,求证 lim n n n a l → = .反之是否成立? 8. 利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1) 1 (2 1)!! [ ] (2 )!! p n n n = − ( ); p是实数 (2) 1 ( 1) ( 1) 1 n ! n n n = + + − ( 0, 0). 9. 利用级数收敛的必要条件证明: (1) 2 lim 0; ( !) n n n → n = (2) ! (2 )! lim 0 n n n → a = ( 1). a 10. 设正项级数 1 n n a = 收敛,证明 1 1 n n n a a + = 也收敛. 11. 设 0 n a ,且数列 { }n na 有界,证明级数 2 1 n n a = 收敛. 12. 设 lim n n a l → = ,求证: (1) 当 l 1 时, 1 1 n a n n + = 收敛; (2) 当 l 1 时, 1 1 n a n n = 发散. 问 l =1 时会有什么结论?