当X、Y相互独立时, E(YY)=xy∞(x,y)lhdh xpx(xdx ypr dy= E(rE(r 结论可推广到n个相互独立的随机变量。 例2。1设X,Y独立同分布N(,),求E(√X2+y2) 产+产+0 解:E(√X2+y2)= x+ (x2+y2)/2 e 2 do re 2dr=√2 +12p-t =√2r(3/2)=(√2/2)r(l/2)=√/2
当X、Y相互独立时， + − + − E(XY) = xyp(x, y)dxdy + − + − = x p x dx yp y dy X Y ( ) ( ) = E(X )E(Y) 结论可推广到n个相互独立的随机变量。 例2。1 设X，Y独立同分布N(0,1),求 ( ) 2 2 E X +Y 解： ( ) 2 2 E X +Y x y e dxdy 2 2 ( x y )/ 2 2 2 2 1 − + + − + − = + + + − − = = 2 0 0 0 / 2 1/ 2 2 2 1 2 d re dr t e dt r t = 2(3/ 2) = ( 2 / 2)(1/ 2) = / 2
。期望的性质 (1)当各X相互独立时, E(∏X)=IE(X)(2.6) (2)E∑CX)=∑CE(X)(2.7) 特别有:EC∑X)=∑E(X)(2.8 (3)E(C)=C (2。9) 这是因为E(C)=C·1=C
二。期望的性质 （ Xi 1）当各 相互独立时， = = = n i n i E Xi E Xi 1 1 ( ) ( ) （2。6） （2） = = = n i i i n i E Ci Xi C E X 1 1 ( ) ( ) （2。7） 特别有： = = = n i i n i E Xi E X 1 1 ( ) ( ) （2。8） （3） E(C) = C 这是因为 E(C) = C1= C （2。9）
性质E(∑X)=∑E(X)的应用 i=1 必须指出,上式成立并不要求各随机变量相互独立)。 例2。2设X~B(m2P),求E(X 解:令X ,第i次试验A发生 0.第i次试验A不发生 则各X相互独立且x~B(,p),E(X1)=P(A)=p 由二项分布关于参数m的再生性可知: X=∑XEC∑X)=∑E(X,)=nE(X)=m l: i=1
三。性质 = = = n i i n i E Xi E X 1 1 ( ) ( ) 的应用 （必须指出，上式成立并不要求各随机变量相互独立）。 例2。2 设 X ~ B(n, p) ，求 E(X ) 解： 由二项分布关于参数n的再生性可知： = = n i X Xi 1 = = = n i i n i E Xi E X 1 1 ( ) ( )= nE(Xi ) = np = 0, 1, Xi 第 次试验A发生 第 次试验A不发生 令 则各 Xi ~ B(1, p), E(Xi ) = P(A) = p i =1,2,...,n i i Xi 相互独立且
例2。3设X~H(n,M,N),求E(X) 解:令X 1,第i次抽到次品 0,第i抽到正品 M N-M 则P(X1=1)=,P(X1=0) B(X)=7,X=∑x E(∑X)=∑E(X)=n M N 应该指出,例2。2和例2。3也能直接由定义计 算X的期望,但是要复杂得多
例2。3 设 X ~ H(n,M ,N), 求 E(X ) 则 = 0, 1, Xi 第i次抽到次品 令 i =1,2,...,n 第i次抽到正品 解： ( 1) , ( 0) . N N M P X N M P Xi i − = = = = = = = n i i X Xi N M E X 1 ( ) , = = = n i i n i E Xi E X 1 1 ( ) ( ) N M = n 应该指出，例2。2和例2。3也能直接由定义计 算X的期望，但是要复杂得多
例2。4一辆机场交通车送25名乘客到7个站,假设 每一车上乘客都和其他人一样等可能地在任一站下 车,并且他们的行动独立,交通车只有在有人下车 时才停车。问:它停车的期望次数是多少? 解:令y「1,第站停车 第不停车 则P(X=0)=()2,P(X1=1)=1-()23 E(X)=1-(2)23X=∑ E(x)=EC∑x)=∑E(x)=71-(5y
例2。4 一辆机场交通车送25名乘客到7个站，假设 每一车上乘客都和其他人一样等可能地在任一站下 车，并且他们的行动独立，交通车只有在有人下车 时才停车。问：它停车的期望次数是多少？ 解： = 0, 1, Xi 第i站停车 令 i =1,2,...,n 第i站不停车 则 2 5 2 5 ) 7 6 ) , ( 1) 1 ( 7 6 P(Xi = 0) = ( P Xi = = − = = − = 7 1 2 5 ) , 7 6 ( ) 1 ( i E Xi X Xi = = = = 7 1 7 1 ( ) ( ) ( ) i i i E X E Xi E X ) ] 7 6 7[1 ( 25 = −