第五章 母函数与特征函数及极限定理 §1母函数
第五章 母函数与特征函数及极限定理 §1 母函数
§1母函数 非负整值随机变量的母函数(这是离散型随机 变量经常遇到的情形) (一)定义设X为非负整值随机变量,它的 概率分布为:P(X=k)=P,k=0,2 称g(z)=∑Pkz(1) k=0 为X的概率母函数,简称母函数。 白母函数的定义可见,知道了X的分布列,就知 道了X的母函数
§1 母函数 一。非负整值随机变量的母函数（这是离散型随机 （一）定义 设X为非负整值随机变量，它的 P(X = k) = p , k = 0,1,2,... k 称 = = 0 ( ) k k k g z p z 概率分布为： （1。1） 为X的概率母函数，简称母函数。 由母函数的定义可见，知道了X的分布列，就知 变量经常遇到的情形） 道了X的母函数
反之,如果知道了X的母函数,由 8(=)=p+P12+…+p=+…可得 (k) po=g(0),D1=g(0 (0 …,Pk ,k=0, g(0 k k h,k=0.1 1。2 因此,分布列和母函数是一一对应的。 (二)几种常见分布的母函数 (1)X~B(1p)g()=∑pk= (1 p)+pz=g+p Tso (1。3)
( ) ... ... = 0 + 1 + + + k k g z p p z p z 反之，如果知道了X的母函数，由 可得 (0), (0),..., p0 = g p1 = g , 0,1,... ! (0) ( ) = k = k g p k k 即 , 0,1,... ! (0) ( ) = k = k g p k k 因此，分布列和母函数是一一对应的。 （1。2） （二）几种常见分布的母函数 （1） X ~ B(1, p) = = 0 ( ) k k k g z p z = (1− p) + pz = q + pz （1。3）
(2)X~B(n,p)8()=∑p=2 k=0 ∑Cn kk n-k k p g =∑C(m)qn(pz+q k=0 k=0 (1。4) (3)X~G(p) g()=∑q41px=p∑(q=)=,p2(1.5) k (4)X~P() g()=e=c∑() λ(2-1)(1。6) k=0
= = 0 ( ) k k k （ 2 ） X ~ B ( n , p ) g z p z = = − − = = n k n k k k n k n k k n k k Cn p q z C pz q 0 0 ( ) n = ( pz + q ) （ 1 。 4 ） （ 3 ） X ~ G ( p ) = = − − = = 1 1 1 1 ( ) ( ) k k k k k g z q pz pz qz qz pz − = 1 （ 4 ） X ~ P ( ) = = − − = = 0 0 ! ( ) ! ( ) k k k k k kz e z e k g z ( − 1 ) = z e （ 1 。 5 ） （ 1 。 6 ）
三。母函数的性质 定理设X12X2…,Xn为相互独立的非 整值随机变量,g1(z),g2(z),…,gn(z) 为它们的母函数,则 y=∑X的母函数为 g()=∏g(=)(1。7)(证略) 这一重要性质为求各相互独立随机变量之和的 分布列提供了另一种方法
三。母函数的性质 这一重要性质为求各相互独立随机变量之和的 分布列提供了另一种方法。 定理 设 X1 , X2 ,..., Xn 为相互独立的非负 ( ), ( ),..., ( ) 1 2 g z g z g z 整值随机变量， n 为它们的母函数，则 = = n i Y Xi 1 的母函数为 = = n i i g z g z 1 ( ) ( ) （1。7） （证略）