第一章数学模型与数学建模 数学模型( Mathematical model):对于一个特定的 对象,为了一个特定的目标,根据特有的内在规律,做出一 些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结 构 数学建模 Mathematical modeling):建立数学模型 的全过程,通常包括问题分析、模型建立、模型求解、结果 检验和应用 下面就是一个数学建模的例子。 例1:新产品的销售量的变化规律 考虑某一种新产品,投入市场后,其销售量通常会经过 “先增后还渐平稳略有下降”这样的过程,这个过程称为产 品的生命周期。请建立数学模型来描述这个过程。 1.问题分析与合理假设 传播新产品信息有两个途径:(1)广告宣传:(2)已经 购买了该产品的消费者,使用后有了体会,向周围人宣传。 潜在的消费者人数(即:有可能购买该产品的总人数)记为N, 以时间t为自变量,从0到t时间段内已经购买了该产品的人 数记为x(t),从t到t+M时间段内购买人数记为△x,则,A 由两部分人组成,第一部分是受广告宣传影响,记为Δx1,第 二部分是受消费者宣传影响,记为Ax2,即Ax=Ax1+A 为了能解决本问题,必须做下面一些合理的假设: 假设1:产品销售量大,可以认为x(t)是连续可微函数 假设2:任何一个还没有购买该产品的潜在的消费者:他 (她)受到广告宜传而购买的概率是常数,记为k;他(她) 受到某一个消费者宜传而购买的概率也是常数,记为k2 2.模型建立 根据假设2,得 △x1=M·k(N-x(D),Ax2=△·k2(N-x(1)x(1), 4=(N-x(1)Xk+k2x(1) 令M→>0得下面数学模型(这是一个微分方程模型) x(1)=(N-x(1)k1+k2x(),且x(0)=0,(1)式 其中,N,k1,k为待定常数,且满足k1,k2>0,k1+k2<1. 3.模型求解 对微分方程(1)式求解得 x(1)=N k N 可变形为 x(1)=a I+ce 一b,其中a,b,c为待定参数
第一章 数学模型与数学建模 数学模型(Mathematical Model)：对于一个特定的 对象，为了一个特定的目标，根据特有的内在规律，做出一 些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结 构。 数学建模(Mathematical Modeling)：建立数学模型 的全过程，通常包括问题分析、模型建立、模型求解、结果 检验和应用。 下面就是一个数学建模的例子。 例 1：新产品的销售量的变化规律 考虑某一种新产品，投入市场后，其销售量通常会经过 “先增后逐渐平稳略有下降”这样的过程，这个过程称为产 品的生命周期。请建立数学模型来描述这个过程。 1．问题分析与合理假设 传播新产品信息有两个途径：（1）广告宣传；（2）已经 购买了该产品的消费者，使用后有了体会，向周围人宣传。 潜在的消费者人数（即：有可能购买该产品的总人数）记为 N， 以时间 t 为自变量，从 0 到 t 时间段内已经购买了该产品的人 数记为 x(t)，从 t 到 t + t 时间段内购买人数记为 x ，则， x 由两部分人组成，第一部分是受广告宣传影响，记为 1 x ，第 二部分是受消费者宣传影响，记为 2 x ，即 1 2 x = x + x . 为了能解决本问题，必须做下面一些合理的假设： 假设 1：产品销售量大，可以认为 x(t)是连续可微函数； 假设 2：任何一个还没有购买该产品的潜在的消费者：他 （她）受到广告宣传而购买的概率是常数，记为 1 k ；他（她） 受到某一个消费者宣传而购买的概率也是常数，记为 . 2 k 2．模型建立 根据假设 2，得 ( ( )) 1 1 x = t k N − x t ， ( ( )) ( ) 2 2 x = t k N − x t x t ， ( ( ))( ( )) 1 2 N x t k k x t t x = − + ， 令 t →0 得下面数学模型（这是一个微分方程模型） ( ) ( ( ))( ( )) 1 2 x t = N − x t k + k x t ，且 x(0) = 0 ， (1)式 其中， 1 2 N,k ,k 为待定常数，且满足 , 0, 1. k1 k2 k1 + k2 3．模型求解 对微分方程(1)式求解得 k k N t k k N t e k k N e x t N ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 1 ( ) − + − + + − = ， 可变形为 bt bt ce e x t a − − + − = 1 1 ( ) ，其中 a,b,c为待定参数。 (2)式
(下面的求解过程不完整) t: t 12 根据实际的统计数据 x(O): x x2 ,用最小二 乘法(非线性最小二乘法)计算得a=10000.b=350, c=17500,x(1)=10000 1+17500e-350 (看书:P3图) 4.模型检验 建立的模型(1)式、得到函数(2式能否应用于实际?能否 预测今后的销售情况?需要做模型检验。再从实际中,提取 些新的数据 “4““,用(2试计算x(x) x(1):S1S2…Sn 这是理论数据,与实际数据s比较误差,计算 (x(l)-s)2 该数值与原始数据s比较,若比较小,则该模型通过了检验 可以它进行预测了。 例1完毕。 数学模型的分类: 按应用领域划分:人口模型、交通模型、经济类模型、企 规划模型、生态环境模型等 按数学方法划分:方程模型、优化模型、概率模型、网络模 型、统计模型等 按所建立的模型结构划分:高散系统模型、连续系统模型。 数学建模方法分两类:机理分析法、测试分析法。 (具体做建模时,常常是两个方法结合使用,如上例。) 数学建模的基本步骤 实际问题→分析假设建立→>数学模型 ↑验证 ↓分析求解 实际结论预测←检验解释←数学结论 最后,再看一个建模例子:计数器的读数
（下面的求解过程不完整） 根据实际的统计数据 n n x t x x x t t t t ( ) ... ... 1 2 1 2 ： ： ，用最小二 乘法（非线性最小二乘法）计算得 a =10000, b = 350， . 1 17500 1 17500, ( ) 10000 350 350 t t e e c x t − − + − = = （看书：P3 图） 4．模型检验 建立的模型(1)式、得到函数(2)式能否应用于实际？能否 预测今后的销售情况？ 需要做模型检验。再从实际中，提取 一些新的数据 m m x t s s s t u u u ( ) ... ... 1 2 1 2 ： ： ，用(2)式计算 ( ) ui x ， 这是理论数据，与实际数据 i s 比较误差，计算 = − m i i i x u s 1 2 ( ( ) ) 该数值与原始数据 i s 比较，若比较小，则该模型通过了检验， 可以它进行预测了。 例 1 完毕。 数学模型的分类： 按应用领域划分：人口模型、交通模型、经济类模型、企业 规划模型、生态环境模型等。 按数学方法划分：方程模型、优化模型、概率模型、网络模 型、统计模型等。 按所建立的模型结构划分：离散系统模型、连续系统模型。 数学建模方法分两类：机理分析法、测试分析法。 （具体做建模时，常常是两个方法结合使用，如上例。） 数学建模的基本步骤： 实际问题 → 分析 假设 建立 → 数学模型 验证 分析求解 实际结论/预测 检验 解释 数学结论 最后，再看一个建模例子：计数器的读数