第四章 随机变量的数字特征 §1随机变量的期望
第四章 随机变量的数字特征 §1 随机变量的期望
随机变量的分布能全面反映随机变量取值 的概率分布情况,但实际问题中概率分布较 难确定,有时也无必要,不少问题只需知道 它的某些数字特征就够了。 在这些数字特征中,期望和方差是最基本又是 最重要的两个。 。期望的概念 设随机变量X的分布列为: P(X=x)=pk2k=1,2 希望找到一个数值来体现X取值的平均大小 这个值就叫做期望(均值或数学期望)
随机变量的分布能全面反映随机变量取值 的概率分布情况，但实际问题中概率分布较 难确定，有时也无必要，不少问题只需知道 它的某些数字特征就够了。 在这些数字特征中，期望和方差是最基本又是 最重要的两个。 一。期望的概念 设随机变量X的分布列为： P(X = x ) = p , k =1,2,... k k 希望找到一个数值来体现X取值的平均大小。 这个值就叫做期望（均值或数学期望）
期望严格的定义如下: 定义1设离散型随机变量X的分布列为: P(X=x)=p2k=1,2 则称无穷级数∑xPk(1,1) k 为随机变量X的期望。记作E(X) 这里还要求无穷级数绝对收敛,即∑|xPk∞ 以保证该级数的和在求和过程中不受各项次序的影响。 如果离散型随机变量X=x的频数为nk, 则X的期望E(x)=∑xP=∑xn(1。2) k=1 其中
期望严格的定义如下： 定义1 设离散型随机变量X的分布列为： P(X = x ) = p , k =1,2,... k k 则称无穷级数 k k k x p （1。1） 为随机变量X的期望。记作 E(X ) 这里还要求无穷级数绝对收敛，即 k k pk | x | 以保证该级数的和在求和过程中不受各项次序的影响。 如果离散型随机变量 X = xk 的频数为 , nk 则X的期望 = = = = m k k k m k k k x n n E X x p 1 1 1 ( ) （1。2） 其中 = = m k nk n 1
定义2设连续型随机变量X的概率密度为p(x) 如果x(x)x<+则定义 E(X)= xp(x)dx (1.3 随机变量X的期望的定义的一般形式可写成: E(X)=/xadF(x)(1。4) 。几个常用分布的期望 (-)两点分布 设Ⅹ~B(1,p)其分布列为: P(X=k)=p(1-p),k=01 则E(X)=0·(1-p)+1·p=p
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为 p(x), 如果 ( ) +, + − x p x dx 则定义 + − E(X) = x p(x)dx （1。3） 随机变量X的期望的定义的一般形式可写成： + − E(X) = xdF(x) （1。4） 二。几个常用分布的期望 （一）两点分布 X ~ B(1, p) ( ) (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X k p p k k k 设 其分布列为： 则 E(X ) = 0(1− p) +1 p = p
(二)泊松分布 设X~P()其分布列为 n'e PX=k k=0,1,2,,>0 k l hke- k-1 则E(X)=∑k 足 k=0 (k-1) ∑ (三)几何分布 设X~G(p),其分布列为: P{X=k}=(1-p)p,k=1, 则E(X)=∑k(1-p)p=(级数逐项积分 k
（二）泊松分布 设 X ~ P() , 0,1,.2,... ! { = } = = − k k e P X k k 0 其分布列为： 则 = − = 0 ! ( ) k k k e E X k = − − − = 1 1 ( 1)! k k k e = − = 0 ! t t t e = = − e e （三）几何分布 X ~ G( p) { } (1 ) , 1,2,... 1 = = − = − P X k p p k k 设 ，其分布列为： 则 = − = − k k p E X k p p 1 ( ) (1 ) 1 （级数逐项积分）