(四)正态分布 设X~N(,O2),其概率密度为: e 2 <y< √2z 则E(x)=x: e (x-)2/2 dx 2丌0 t=(x-)/a + e 2丌 + dt 2丌
（四）正态分布 ~ ( , ) 2 X N = − − − p x e x x , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) 设 ，其概率密度为： 则 E X x e dx x 2 2 ( ) / 2 2 1 ( ) − − + − = + − − = − = + t e dt t t x / 2 ( )/ 2 ( ) 2 1 = = + − − e dt t / 2 2 2 1
第四章 随机变量的数字特征 §2随机变量函数 的期望公式与期望的性质
第四章 随机变量的数字特征 §2 随机变量函数 的期望公式与期望的性质
随机变量函数的期望公式 设随机变量X的分布函数为F(x,(连续型随 机变量的概率密度为p(x)或离散型随机变量的 分布列为P(X=xk)=Pk),Y=f(X是随 机变量的函数,则Y的期望为: E(Y)=EL(x]=f(x)dF(x) f(x)p(x)ahx连续型 (2。1) ∑f(xk)Pk离散型 由上述定义可知,计算随机变量函数的期望 不必先求出随机变量函数的分布
设随机变量X的分布函数为F(x),（连续型随 机变量的概率密度为p(x)或离散型随机变量的 分布列为 ）,Y=f(X)是随 机变量的函数，则Y的期望为： + − E(Y) = E[ f (x)] = f (x)dF(x) k pk p(X = x ) = 一。 随机变量函数的期望公式 = + − k k pk f x f x p x dx ( ) ( ) ( ) 连续型 离散型 由上述定义可知，计算随机变量函数的期望 不必先求出随机变量函数的分布。 （2。1）
随机变量函数的期望的定义,可推广到n维 随机向量函数的期望: 设n维随机向量X的分布函数为F(x12x2…,xn) Y=f(X)是随机向量X的函数,则Y的期望为: E(r=Elf(X f(xi, x2, ndF(x,x2 xn) 如果随机向量为连续型,其概率蜜度是: p(x1,x2…,x),则 HoC E(Y)= f(x,x2,…,xn)pD(x1,x2…,xn)dax1,.b, (2。2)
随机变量函数的期望的定义，可推广到n维 随机向量函数的期望： ( , ,..., ) 1 2 n p x x x 如果随机向量为连续型，其概率密度是： ，则 + − + − = n n dx dxn E(Y) ... f (x , x ,..., x ) p(x , x ..., x ) ... 1 2 1 2 1 （2。2） 设n维随机向量X的分布函数为 Y=f(X)是随机向量X的函数，则Y的期望为： E(Y) = E[ f (X )] ( , ,..., ), 1 2 n F x x x + − + − = ... ( , ,... ) ( , ,..., ) 1 2 n 1 2 n f x x x dF x x x
类似地可定义n维离散型随机向量函数的期望。 特别,当(X,Y)为二维连续型随机向量,Pp(x,y) 是其概率密度,Z=f(x,y)是(X,Y)的二元函数时, 则有:E(Z)= f(, yp(x, y)dxdy 从而有: E(X=Dxpx, )drdy=[xp (x)x(2. 3) E()=∫J(xy)dd=m()h(2 +OO P+oO E(XY xy(x,y)dxdy(2。5)
特别，当（X，Y）为二维连续型随机向量， Z = f (x, y) 是（X，Y）的二元函数时， p(x, y) 是其概率密度， 则有： + − + − E(X) = x p(x, y)dxdy + − = xp x dx X ( ) + − + − E(Y) = yp(x, y)dxdy + − = yp y dy Y ( ) + − + − E(XY) = xyp(x, y)dxdy （2。3） （2。4） （2。5） 类似地可定义n维离散型随机向量函数的期望。 + − + − E(Z) = f (x, y) p(x, y)dxdy 从而有：