《高等数学》下册教案第十一章曲线积分与曲面积分 ∮k+Qw-是S加m D. 手+o-川是器如 2 A 将1)、(2)两端分别相加： 虚-，尝器加小是爱如-川是器如 右端=∮cPt+0+∮mP+O =∮c。+fn,+P+Q+f+∮，P+0=∮，cePt+Q=f,P+O 从：手脑+0w-儿袋器咖. 例1、在上面定理中取P=-y,Q=x,计算曲线积分重，x-y 解：器器1-=2，故 手n+0-尝号加-3如=明，如-d 其中A表示区城D的面积，则A=手砂-d“用线积分计算面积。 知推国L:哥+若-1，三向：也可以写作L:“0cas,少=bs,:0→2，则钱圆西 积：A=∮，x动-t=打。acos1-(beostdr0-bsint(-asinid) teosin ab 问题：如果L是非正向闭曲线，格林公式应是什么形式？ 例2、计算曲线积分∮，0y2+x)迹+x小，其中L是上半圆2+y≤R的正向边界曲线。 :P户4,0，则婴g2-2, 手0心+恤+-川器器o=2,-o=2,咖 =-2∬。rsin0-id0=-2jsin0d0-jrdh=-号r 第11页一共33页 泰永安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例3、计算积分重，0+sin2x)本+(9x+cos2y),L半径为a的圆周的内接正八边形的正向边 界曲线。 解：P=+m,Q=g+w.器器9-1=8 π 4 -儿保o-明a-m子-6w2 解：L不是封闭曲线，不能利用格林公式。 L 作一条有向的辅助线L,:y=0,x:a→-a,则 -a (e'sin y-3y+xd +(e'cosy-dy(e'sin y-3y+c(e'cosy-xdy (e'sin y-3y+d+e'cosy (e'siny-3y+d+(e'cosy-)dy =(e'cosy-1-e'cosy+3da =-2小。do=-xab S.(@siny-3y+dbe+e cosy-xdy=f(esiny-3y+x)ds=fd--d 所以，了=∮.=-b+子知 注：添加的辅助线必须是有向的，一般是平行于坐标轴的直线或折线。 以并手学产，L一多无在A分及光清所、不经生金新及表时任一医向风自政。 ”2+’x2+yy 1蜘果坐标原点不在L内，则在区城D上总有：碧-那，从而 手-川器得加=0 口果丝标原点在L内，则架号在区装刀内的@0)点不成立，不能周愁林公又 作一个半径为6的完全属于D的小圆L:x2+y2=82 第12页一共33页