《高等数学》上册教案 第四章不定积分 第四章不定积分 §1、不定积分的概念 一.原函数与不定积分 定义1、设函数Fx)、fx)在区间I上有定义，re1,若有F'(x)=fx),则称Fx)是f) 在区间1上的一个原函数。 如果质点的路程函数为s=s,速度函数为()，已知s)=(0,由定义s)是)的 一个原函数：(sinx)=cosx,故sinx是cosx的一个原函数，… 问题：①在什么条件下，一个函数一定有原函数，是否唯一？ ②如何求原函数： 定理1、（原函数存在性定理）区间上的连续函数一定有原函数 注：①初等函数在定义区间内连续，故初等函数在其定义区间内一定有原函数： ②如果F(x)是fx)的一个原函数，即F(x)=fx):由于(F(x)+c)=x),表明F(x)+c也 是x)的原函数(c是任意常数)：表明原函数不唯一。 定理2、x)的任意两个原函数之间最多相差一个常数。 证：设Fx)、G(x)都是函数fx)的原函数，即F(x)=f(x),G(x)=f(x,对任意的x,有 F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0 即Fx)-G(x)=c,或F(x)=G(x)+c。 注：根据定理2，如果已知fx)的一个原函数为F(),则fx)的所有的原函数可以表示为 F(x)+c,即f)的原函数的全体为{Fx)+c,称为fx)的原函数族。 定义2、设fx)在区间I上的原函数的全体为Fx)+以，称其为fx)在区间上的不定积分， 记作∫fx女=Fx)+c。其中∫为积分号，x为积分变量，fx)为被积函数，fx 为被积表达式。 由此定义，由于s'0)=w),则「h=s)+c;由于(sinx)=cosx,则[cosxdx=sinx+c, acane 注：由不定积分的定义，f)的不定积分为Fx)+c是一族曲线，称之为积分曲线族。其特 点：只要作出其中一条曲线y=F(x)的图，通过沿y轴的上下平移，即可得到所有的积 第1页一共24页 泰永安
《高等数学》上册教案 第四章不定积分 分曲线y=F(x)+c的图形。 二，不定积分的性质 1.和差的积分等于积分的和差：「[fx)士g(xk=「f(xk±「g(x: 证：设F(x)=fx),G(x)=gx,则由定义， ∫fx±∫g(x=(F(x)+c)±(G(x)+e)=F)±G(x)+c {Fx)±Gx}=F'(x)±G(x)=fx)±gx) 表明，Fx)士Gx)是fx)士gx)的一个原函数，则 「rx)±g(xk=Fx)±Gx)+c=fx±g(x 2.非零常数因子可以从积分号中提出来：「(x达=kfx还： 3.积分与微分（导数)的关系： if(xkx;=f(x) ∫fx=fx)+c diff(x)de=f(x)d 「drx)=fx)+c 注：①在忽略任意常数的基础上，积分与微分互为逆运算： ②对于性质∫f":=fx)+c,但不能写成：∫(x=fx: ③当导函数f(x)已知求原函数fx)时，有fx)=∫fx)林-c,又因为不定积分「f"(x妆中 本身已包含了任意常数，故常常写作fx)=∫f(x还 三.基本积分公式 根据不定积分的定义，即若F'(x)=f(x),则f(xk=F(x)+c以及已知的基本初等函数 的导数公式，直接推出以下16个基本积分公式： m∫0&=c: (2)∫kh=+c: fa1: 5)「e'dk=e'+c: (7)∫cos.xk=sinx+e: (8)[sin xdx =-cosx+c: (9)∫sec2xdk=tanx+c: (10)csc2xdx =-cotx+c 第2页一共24项 泰永安
《高等数学》上册教案第四章不定积分 (11)[secxtanxdr=secx+c;(2 [cscxcotxdx=-cscx+c; 阳jk=am+c: womxce i5∫sinhxdx=coshx+c: i6∫coshxds=sinhx+g 对于公式∫=hl时+e说明知下：x>0时，n时=hx,且a=血-：x<0时， nl时=h(x,且a=(a(x=:因此的原函数是州，即∫片在=n+c,为了 书写简便，∫上k=hlx+e常常也被写作：∫片k=nx+c 四.简单的不定积分的计算 例1.计年不交板分-h, 解：小-hje-5rh=号9+e: ∫=k=-j-3+3-lk=小e-3+3-h=号-3x+3咖x++e 例2.多不交积分00++方，苦 :jw+r+2h品0m42 3不款b4,女， 1 解：∫(2+3yk=∫(2+32+223)=∫(4+9+26)d 1 26+c 了co2n本o-m女小osx+m达=x-eosx+e cosx-sin x ∫m=j=小eha4mr4e 第3项一共24页 泰永安
《高等数学》上册教案 第四章不淀积分 为了检验积分的结果是否正确，可利用F(x)=()。 例4.问2x、0s2x、0x是否是同一函数的原函数？是哪一个画数的原函数？ 解：行m2x=-日o2x+号 -7osx=-4c0s2r-号 所以n、o2、msx之间只相是-个书数，且 1 分n2xw=←4cos2xy={2cos2x对=sn2x 从而它们都是函数，s加2x的原函数。 例5.计算积分「V1-cos2xdk。 解：V1-cos2 x -sin xl:在不定积分中，约定VA2=A,即V-cos2x=simx, 从而：∫V-cos2xdk=∫sin xde=-cosx+c 例6.质量为m的物体，自100米高处以初速度。=0自由下落，问经过多长时间能到达地面？ 到达地面时的速度是多少？ 解：根据牛顿第二定律：F=ma,有a=g:由于a=v,即=g，从而 v=∫yh=∫gdl=g+G:再由o=0,得G=0,v=g。 国为s'=v=g,故s=∫sd=∫gdl=2+c:由于s0)=0,得c2=0,求得s=2: 到达地西时，8三100，所需时间为：1尽=10（秒)：到达地西时的建度为：一 钢7.由线y=在点：的动线的斜丰为水=名+成未由线的方程，已知点侧 在曲线上。 解：巴知，y==+2故 yjh-小eh-号，m*e 第4页一共24项 泰永安
《高等数学》上册教案 第四章不淀积分 当x=0时，y=l,可得c=1。所求商线为：y=子名+arctanx+1. 例8.已知f(tanx)=sec2x,fO)=2,求f)。 解：f'(tanx)=scc2x=l+tan2x,故f(x)=l+x,则 e-jre-j+=++e 由条件f0)=2,求得c=2,所求函数为：fx)=x+。x2+2。 注：利用基本积分公式时，必须严格按照公式的形式。如已知，∫sinxd=-cosx+c,但 「sin2xk≠-cos2x+c。 例9.计算∫f'nx,{fnx), 解：国为：血y=fh),则：Jf=小hy达=f)+c f(Inx)dey'=f(Inx) §2、换元积分法 不定积分厂sim2.xd就不能直接用基本积分公式sinx=-cosx+c来计算，因此还必须 介绍计算不定积分的一些方法。 一、第一换元积分法（凑微分法） 定理1、设Fu)是fu)的一个原函数，且“=(x)可导，则 「fld(x)lo(x)kh=FLo(x+c 证：因为F'u)-fu,而F[lo(x】是由Fu小、u=ox)复合而成，故 (Flo(x)=F(u)o(x)=f(u)o(x)=flox)lo(x) 由不定积分的定义。就有[fe(xp(xk还=Fp(r】+c。 注：①fa(x)xu=o(x)∫fuh=Fu)+c=F[o(x】+c,故称此法为第一换元法： 其特点是将被积函数中的某一部分函数视为一个新的变量： ②fo(xpx)h=fexo(x)=Fo(x刃+c,因此，第一换元法也称为凑微分法。 第5页一共24页 泰永安