《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 第七章微分方程 §1、微分方程的基本概念 一.概念 1.引例 (1)一曲钱经过点(L,2),且曲线上任意一点(x,y)处的切线的斜率等于该点的横坐标，试确定此 曲线的方程。 解：由老意及学数的几行意又，有)/=，不章得出y=号+©：又因为南线丝过点@)，即 0=2,可得=4,所由钱方相有：y子4 (2)在真空中，自静止状态自由下落的物体的运动方程（路程函数） 解：自由下落时，物体所受到的外力为F=mg,根据牛顿第二定律：F=ma,有ma=mg, 即a=g:又口密，则空8，或v=+6:又国为会，则密+：从而 =0=+1+6:由条件0=0,0=0，可以璃定G=6=0,所求物体的运动方 程为：s0=28。 2.常微分方程的基本概念 常微分方程：含有未知函数的导数或高阶导数的方程： 方程的“阶”：方程中未知函数导数的最高阶数： 方程的“解”：使方程成为恒等式或满足方程的函效： 方程的“通解”：方程的解中含有与方程的阶数相同个数的任意常数： 方程的“初始条件”：用来确定方程通解中中任意常数的条件： 方程的“特解”：方程通解中中任意常数被确定之后的解： 通解的几何意义：以任意常数为参数的积分曲线族： 线性常微分方程：关于未知函数及其各阶导数均为一次的方程。 如，线性微分方程：y+xy=x:非线性微分方程：y+yy+x=0 §2、一阶微分方程
《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 一价微分方程的-复形式为：FK水门=0：若记y=安， 一阶微分方程又可以写作： 小费=0，共中未知西教为)y= 一.可分离变量的微分方程 中某一价摄分方程P密=0可以成写为：X=0海，对稀F,会=0为可 分离变量的微分方程。 如果y=(x)是方程的解，则X(x)=(x)(x),即 X(x)dx=Y[y(x)ly'(x)d 上式表明，两个函数的微分相等，从而共导数相等：X(x)=(xyx)则共原函数最多相差 一个常数，即：「X(x)-∫Yyxy(x)=c:或∫X(x)k=∫YTy(xy'(x)+c因为不定积 分符号∫中已包含任意常数，故通常写作：∫X()=∫YTyx)y'(x),支∫X(x)d=∫Y(y) 注：求解可分离变量的方法是：分离变量、两边分别积分。 例1.求微分方程y=-y的通解。 解：安，分高变量小=冰，两边积分： ∫小=-∫hly-x+Gyhe=eery=ee 记±e9=c,方程通解为：y=ce"。 :注：事实上，小=-d,积分后得：ny=-x+lnc,y=ee=ce“。 例2。末微分方程虫=+户满足初始条件0)=1的特解。 dx y(1+x) 解：分高度兰：立少血，两效叔分布-小应， In+)=I(+)+Inc In(+y)=In(l+x)+Ine In(l+)=Inc(+) 方程的通解为：(1+y)=c1+x)。初始条件y0)=1,则0+1)=c1+0),c=2,所求特解： 1+y)=21+x)支2x2-y2+1=0 例3.设y=f)(x≥0)连续可微且f0)=1,已知曲线y=f(x)、x轴、x轴上过原点及x
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 点的两条垂线所固成的图形的面积值与曲线y=f(x)的一段孤长相等，求x)。 解：由条件：fx)d=V+x,两边求导得fx)=√+f(x,即y=√+yT, 或y=士√y-1~可分离变量的微分方程 盘本地 积分得：n(y+√y2-1)=士x+c 又y0)=l,则c=0:所求特解为：(y+√y2-1)=±x,或 y+2=e 或y=e+e)=coshx 二.齐次方程 一修提分方程门=0的果可以写作：密伯，时称为来欢方数，如果余用代头： =去则)=m,安+会代入方程：+会，安- 血=“可分高变量的微分方程 fu)-4 例4、家分方程密号的道解。 解：密片水水方程，令：子，少m,盗密带入方程 =1-1+0 arctanu-in(=nx+inc,arctanunnc em“=V+Wxc,e“=cx+2,将w=上代回，得原方程的通解： 例5.求预分方程密+y=2厅满足)0=0的特解。 dx 3
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 密-206-)“可分岛变至的发分方： -=小 1 w=2 d-)=-hx +te 1-:甲原方程的通：0-图= 利用物始条件0-0，可得-1，所本特样为：0-臣-山 三.经过适当的代换可以化为前两类方程的方程 1.若一阶微分方程为少=++上，剥一定可以化为齐次方程： dx ax+b:y+cz (1)当G=C=0时，就是齐次方程： (2若G,C不同时为零，则不是齐次方程。作代换：x=X+h,y=Y+k,只要选取适当的么，k, 就可以使方程(*)变为齐次方程。 例6.求微分方程(x-y-1)+(x+4y-1)d=0的通解。 在4代换：=X+6,少=y6,对 dY_(X+为-(Y+)-1 dy X-Y+h+k-1 成(X+)+4Y+)可 dxX+4Y+h+4k-1 令0：aie0:a17时 品“条次方：贵代换”，会品 会，尝密墙安岩数， arctan2u+(e arctanu+(+ arctan(2)+n(+nc arctan(2+In()=e ann号-护+4门=e甲为原方红的适新 4
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 2.适当的代换转化为可分离变量或齐次方程的方程 例7.求微分方程少。1+1的通解。 dx x-y 相：令：y,则1安会带入方位：1杂，安士恤山，报分得 例®表提分方红安4的的适航 2w-2y 解：来-3，令：11，剥当虫，甲 29-2y 2(x-0 24 ,2加，积分得：-h3-70=n1-ac,hc=h8-）+n1, c=(3-)t,(3-()1=c,32-y2=ct,原方程的通解为： 3x-102-y2=c(x-1) 例9.求微分方程y=y2+2(sinx-0y+sin2x-2sinx-cosx+1的通解。 解：将方程变形为：y=y2+2sinx-1)y+(sinx-1)2-cosx,即 +mex=+2m-y+6m-,去0+my产+2-w+6m- dx 孟0+mx-0=+20mx-p+6m-,即20+m-月=04m- 若余周等换4如1，则方位变形为：会，当-血，积分得：日+0，或 4(x+c)=-1,即(y+sinx+1)x+c)=-1为通解。 5