《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 §2、对坐标的曲线积分 一、概念与性质 1、引例：变力沿曲线的做功问题 设一质点在一变力F=P(x,y)+(x,)疗的作用下，沿光滑曲线L由A点移至B点，求 此过程中变力F所作的功 如果户是一个常力，作用于质点，使之沿直线从A点移至B点，户与位移方向5的夹角 为0，记F=F,15上s;则W=F5=F.s.cos0; 设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线孤L=AB上连续 1任意分割L为n个有向小孤段：M-M,i=1,2,…,n,M。=A,M。=B,其中M,(x,y): (5,n,)eMM,在MM,上近似地视F为常力，即 F(5,n)=P(5,n,)i+Q(5,n,)j 由条件M,M,是光滑的，位移可用弦MM代替M,M,且有 MM,=(x-x-)i+0y-y)j=△Axi+△yj (2)求近似：△W≈F(5,n,△=P(5,n)△x+Q5,n)△y,i=l,2,,n W-∑△形=2F5,n)MM=∑P5,n)Ax+05,n)Ay} 3记元=max{MM,则：W=im∑F(5,M.M=im∑P5nAx+05,m)Ay· 定义、设L是xOy平面上从A到B的有向光滑曲线，函数Px,)、Q(x,)在L上有界。任意 分割L为n个有向小孤段MM,i=1,2,,n,M。=A,M。=B,M,(,y),并记 A=-1,Ay=y-,(,)eMM,若极限m立P怎，n)Ay存在，称极 限值为函数P(x,)在L上对坐标x的曲线积分，并记作 m∑P5,n)ac=∫Px,d: 同理，若极限1im∑Q(5,,)4y存在，称极限值为函数Q(x)在L上对坐标y的曲线积分， 记作：imQ5,n)Ay=.0(xd· 第6页一共33页 床安
《高等数学》下册教案第十一章曲线积分与曲面积分 平面曲线上的对坐标的曲线积分的一般形式为 ∫Px,y)k+Qx,y)=∫P(x,y)d本+(xy)d=∫P+0 同理可以定义在空间的有向光滑曲线厂上的对坐标的曲线积分 [P(x,y,)d+(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz Pdx+Ody+Rdz 根据定义，变力沿曲线做功可表示为：W=」P+Q,其中F=Pi+O。 2、性质 ,Pk+Q=Pt+Q+P+Q,(L=L+山，且方向一致) (2∫，Pk+Q=∫P+Qd,（-L与L反向） 二、对坐标曲线积分的计算 设有向光清曲线L:起点参氨1=2，终点参=月：声1单阴跑从☑变到日 时，点M从起点变到终点；)、w()连续且不同时为零，P、Q在L上连续，则 P()Ax)A =lim∑PTpu,.wG,o'u,)a=∫Ptp0.ywop'0ed 同理，有∫，Q(xy)d=im∑Q(5,n,)4y=∫Q[p,w(0y'0)d,所以 J,Pd+Qdy-(d 注：①对坐标的曲线积分化为定积分后，应当注意曲线的方向，是起点的参数值，B是终 点的参数值。因此可能出现上限<下限： 回如果尚线方程为L:y=国，x从a到b:y0国在L上连续，L:则 ∫Pt+=」{Px,(x]+Ox,xy'(x)}d ③知米曲钱方程为L:x=x心，y从c到d:x0)在L上连续，L:区=)，则： y=y ∫Pt+0=∫x0h'o)+Qx0.y 第7页一共33页 泰永安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 ④对于室间有向光滑曲线『：x=)、y=y(0、z=),t:a→B,则 ∫Px,t+Qxy+yt -JiPo).v().ak(+Q(.v(.o(h(+RI).v().(Jo(jdr 例1、计算积分∫，xk,L为y2=x上从，-)到(，)的一段孤。 解：L:=y,y-l→1：9=产2=4。y=号 浅4：y=G,x:0→1：：y=F,x:1→0： ∫=k+小=+x()=2= 注：曲线不能用一个方程表示时，应当利用曲线积分的性质分段积分。 例2、计算积分重，b,L是(x-a+y2=a2与x抽国成的上半圆域逆时针方向的边界曲线。 :4:=0,0:6:{2.0 ∮，y=∫yt+∫yk 0 2a c02acos0sin0-(-4acos0sin0d0) =-l6a∫。cos0sin20d0=-l6a3fcos'01-cos2d0 16w经-名授受 保计果分手空学共中L有国用少-发时件方向 新手学产f的恤，1的参线方：仁8000 手湾-e.(-neR血0 =∫[cos20+sin20d0=2r 例4、设z轴的方向与重力方向一致，求质量为m的质点从（化，，）沿直线移至(x,y,2)时， 重力所作的功。 第8页一共33页 泰床安
《高等数学》下册教案第十一章曲线积分与曲面积分 解：若F=Pi+Q+R服，则沿曲线「所作的功为：W=∫P+Qd小+Rb:由条件， x=x+(x,-x)1 F=mgk,即F=0i+0j+mgk,「：y=片+(0y2-片1,1：0→1：故 M F 2=2,+(22-)1 W=∫Pk+Q+Rdk=∫mg止=mg(a2-z)h=mg(32-) 三、两类曲面积分的关系 设与曲线L=AB方向一致的切线向量5={k,例与x,y轴夹角分别为a,B,且曲线的方 向为参数增加的方向，即当点沿曲线从起点A移至终点B时，参数1从a变到B: L:r=0 {=ygas1≤Ba:a→B),则Pxn达=Pi0y0poah: 南于a阴一 1 p'0) w'0 dy ds Moof +twF f +IOF' A 以及孤微分公式：d=V[o'()+[w'0)d, 9(0 j.Peosa=p0v01oofvnooT+woT4 ="P.v((di 即∫P(x,y)=∫Px,)cosad,同理可得：∫(x,)d=∫P(x,y)cos Bds ∫Pt+d=∫，(Pcosa+Qcos B)h 其中cosa,cosB是曲线方向的方向余弦。 同理，若cosa,cosf,cosy是空间曲线方向的方向余弦，则 [Px+Qdy+Rdz=[(Pcosa+QcosB+R cosy)ds 例5、把对坐标的曲线积分∫P+Q小化为对孤长的曲线积分，其中L为曲线y=x上从(0,0) 到L,I)的一段。 ∫x=x 解：1：0→1：与线方向一的切线向量为：==2, 第9页一共33页 泰永安
《高等数学》下册教案 第十一章曲线积分与曲面积分 a阴-高2对-产高 1 1 cosa= 1 2x 1+4x2 cos I+w-cca0-器 §3、格林公式 一、格林公式 ①单连通与多连通区城： ②正向闭曲线： 单连通区城 多连通区城 定理、有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)、Q(x,y)在区域D内一阶偏导数 连续，则 y=9(x) 手点Q的-儿尝导如格会大 L 其中L是区城D的正向边界曲线。 y=Q(x) a 证：先设D是X型的简单区孩，如图。即D:a的Sy≤织，( asxsb o-广4本=广Peg=x%-xaa ∮P=++∫P,t=∫P,gd+0+∫P,a(达+0 =∫Px,9,(x)∫P(x,,(x)t=∫{Pxg,(x》-Px,gx 证得：手，Pk=号o:若D是y型的简单区执，月理可证：手.Q的=碧。 如果D既是X型又是Y型的简单区城，以上两部分同时成立，即 手ne小受器如 对于一般的平面区域，可以适当地划分为若千个既是X型又是Y型的简单区城，例如 D=D+D,如图，D,D,既是X型又是Y型的区城，则根据上面的讨论， 第10页一共33页 事衣安