《高等数学》上册教案 第五章定积分 第五章定积分 §1、定积分的概念与性质 一.引例 = 1.曲边梯形（如图）的面积 设曲线方程为y=fx,且fx)函数在区间[a,上 连续，f(x)≥0。讨论以下曲边梯形的面积。 1)分割：任取n-1个内分点：a=x<x2<x<<x。<x1=b,分割区间a,b]为n个小区 间，记x1一x,=Ax,其中Ar既代表第i个小区间也表示第i个小区间的长度；与此同时将曲 边梯形分割为n个小的曲边梯形： 2求和：（求曲边梯形而积的近似值）设△4表示第i个小曲边梯形的面积，则A-=△4，又 AM=G·i-2n:(5是上的任意-点).4-空42传A (3)取极限：记1=max△r,Ax,,Axn},若极限1im∑f传Ax,存在，称之为曲边梯形的面积， 即：A=m∑A4=f儿形A。 2.变速直线运动的质点的路程 设质点的速度函数v=),考虑从时刻α到时刻B所走过的路程。设)在[a,B]上连续， )≥0，仍然采用分割的方法。 ①分割：a=1<12<(3<<1n<1n1=B: ②求和：在时间间隔，4]内，质点的路程近似为：△，≈（传△1，其中5是，‘]内的任意 一点，，=-，则5=A*M ③取极限：记2=max4山，4山，△，当元→0时，和式(5)M的极限就是质，点从时刻a 到时刻B的路程，即5=m∑传，A%,· 注：以上两例分别讨论了几何量面积和物理量速度，尽管其背景不同，但是处理的方式是相 同的。采用的是化整为零、以直代曲、以不变代变、逐渐逼近的方式：共同点是：取决 第24项一共1页 基永安
《高等数学)上册教案 第五章定积分 于一个画数以及其自变量的范固，含弃其实际背景，给出定积分的定义。 二.定积分的定义 1.定义： 定义、设函数fx)在区间[a,b上有界，在[a,b内任意插入n-1个分点： a=x<x<x<...<x<x=b 分割[a,为n个子区间：[k,x],x小，，xx],,kx小，第i个子区 间的长度为x1-x=Ax:任取5∈s,x小，i=,n,作和：∑fG)△x:对于 1=max△x,△x2,,△x,},如果极限im∑f传)Ax存在，称极限值为函数fx)在区间 [a,b上的定积分，记作：∫fx)im∑f传)△x,也称函数fx)在区间[a,上可积。 其中，{a,b“为积分区间，a“积分下限，b“积分上限，八x)“被积函数，x“积 分变量，∑f店)△x积分和。 根据定义，在引例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为A=∫∫x):变速直线运 动的质点的路程可以表为：s=∫)h。 注：①注意在定积分的定义中的两个任意性，函数可积即意味着极限值与对区间的分割方式 及在区间x,x]上点5的取法无关： ②定积分的积分值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关，即： ∫心fx达=∫foh=S"f(u)du: ③约定：∫fx)=-∫”fu)du,fx)k=0。 2.定积分存在的条件 (1)闭区间上的连续函数一定可积： (2)在闭区间上有有限个第一类间断点的画数也可积。 3.定积分的几何意义 若fx)20,由引例可知「fx)k的几何意义是位于x轴上方的曲边梯形的面积： 第24项一共2页 妻衣安
《高等数学》上册教案第五章定积分 若f)0,剩A=-fx)为位于x轴下方的曲边梯形面积，从而定积分代 表该面积的负值，A=∫fx)即： 一般，曲边梯形的面积∫门f(x)川k:而∫f(x)的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。 例1.用定义计算定积分xd。 解：被积函数∫x)=x在区间[口，]上连续，故一定可积。从而对于任意的分割、点5的任意 的取法，和式2f店△x的极限均存在且相等：因此 1n等分区间血小，年个子区间长度为4此-0,1=，分点为 =0,=0+2,与=0+2，，无=a+n2= 2取写k,]且为北区间的右端点，即5==a+二口，则 立店x-2=2a+月2-月交a+20 am26-l20- n2 广s=m2=6-ala+290+=6-加+与马1-，e 2 2 例2.将下列和式的极限用定积分表示： 1 1 1 *空2 1 此时，取A-日即积分区间长为1：取气==号正好是0训n等分后的分点：又 +守故+女，从而 1 1 1 1 例3.根据定积分的几何意义，指出下列积分的值。 第24项一共3页 惠永安
《高等数学》上伊教案 第五章定积分 ∫3冰=3b-a） Soxdbr= ∫0-xk=m [cosxd=0 §2、定积分的性质 设f(x)、g(x)在[a,b区间上可积，则定积分有以下的性质。 1.∫k=b-a: 2.[Imf(x)+ng(x=m[f(x)dx+n[g(x)dx 3.若a<c<b,则∫fx)=∫fr)+∫fx)d,e“内分点： 注：如果c是区间[a,的外分点，且b<c,f()在[a,c上可积，则等式 ∫fx)d=∫fx)k+∫fx) 仍成立：即不论a、b、c之间是否有大小关系，上述等式均成立。 4.(定积分中值定理)设f)在区间[a,上连续，则存在E∈[a,,使 ∫心fx)k=f56-a) 证：由定义∫心f=m∑f〔传)A:国为)在区间a,上连续，故可以在[a,上取得 最大值M和最小值m,则 6-0空GM-0表2rGsM 取颜限可得：加s。广8恤≤M:脚广达是介于因k小上展大位M、最 小值m之间的一个数。再利用闭区间上连续函数的介值定理，存在5∈(a,,使得 因广e,灯7=6-a. 注：①定积分中值定理的几何意义：曲边梯形的面积等于某个矩形的面积： ②若对[a,b进行n等分，则 第24项一共4页 惠衣安
《高等数学》上册教案第五章定积分 ∫广7e=2m2片2=之G) 故广山也表示闭区间上连续高数的平均值。 5.xe[a,b小，若fx)2gx,则fx)d≥∫g(xd:特别，当f)20时，∫fx)dt≥20： 6.若函数x)在区间[a,b上可积，则/(x也可积，且fx)长∫f(x川k:如果 Vx≤M,则1fx)≤Mb-a)。 7.(估值定理)若函数fx)在区间a,上可积，且m≤fx)sM,则 m(b-a)s∫fx)ksM(b-a) 例1.计算连续函数x)=√4-2在区间[0,2]上的平均值。 :网=4-2-号 例2.比较积分的大小：∫xdk,∫n(l+x)d。 :侵0+小e创，因古产0.表期，@学，卫 f0)=0,从而f>0即r>h1+x,证得∫x>(1+x。 例3.估计积分值0+sim2x)体。 精：在区同厚子上，1s1+mx52,b-0-好-号-，所以。 π≤+sim2x0h≤2π 例4.证明：m+eosk=2b-o)。 解：m」1+cos=mV+cos写6-a)=56-a) §3、牛顿一莱布尼兹公式(NL公式) 一.NL公式 第24项一共5页 基永安