航空机载惯性导航系统这里1为单位矩阵。现在把上式具体写成：[100CuC12C13CC21C31010C21C2C23C12C22C32Loo1C31C32CyJLC13C2C33由此得到下列等式：[ci +ci+c=1c2i+c2+cz=1ci+cz+ci=1C1uC21+C12C2+C13C2 =0Ca1Cu+CnC2 +CCn=0CCu+C2C12+CnC=0式中的6个方程是9个方向余弦之间的6个关系式。也就是说，9个方向余弦之间存在6个约束条件，因而实际上只有3个方向余弦是独立的。但是，由给定的3个方向余弦的数值，通过约束条件来求其余6个方向余弦的数值，实现上很困难，而且它的解往往不是唯一的。所以一般地说，仅仅给定3个独立的方向余弦，并不能唯一地确定两个坐标系之间的相对角位置。为了解决这个问题，通常采用三个独立的转角，即欧拉角来求出9个方向余弦的数值，这样便能唯一地确定两个坐标系之间的相对角位置。16第二节欧拉角和矩阵变换与刚体固连的一个轴的空间取向，需用2个独立的角度描述，而刚体绕这个轴的转动，还需一个独立的角度描述。故取三个独立的角度作为广义坐标，便可完全确定定点转动刚体在空间的角位置。换言之，刚体坐标系相对参考坐标系的角位置，可以用三次独立转动的三个转角来确定、这就是著名的欧拉法。这三个独立的角度称为欧拉角。陀螺转子、平台台体和运载体（飞机、导弹、舰船、航天器等）在8-732空间的角位置，可用欧拉角来描述。第一种欧拉角如图2-3所示。假定在起始时刚体坐标系ox,y,z,与参考坐标系ox。y。z.重合通过三次转动后它处于图示位置。第一次转动是绕z。轴的正向转过角到达ox,y..位置，第二次转动是绕y.轴的正向转过角到达o%19位置，第三次转动是绕轴的正向转过角到达ox,y,位置。在力学中，通常称为进动角，9为章动角，中为自转角。将ox。、xy,z、0z、,y,z,各坐标系分别简称为o系、a系、b系、r系。o系与a图2-3欧拉角原理图1系之间的变换关系为：
第2章惯性导航基础理论sind01cost0sintcus010a系与b系之间的坐标变换关系为：0-sing3cosox.001Lsing0cosob系与r系之间的坐标变换关系为：07[cossingpx,X0CHsingcosY.Y001由此得到o系与r系之间的坐标变换关系：Xo,CECC其中方向余弦矩阵C。具体表达式为：cosicosocosp-singsingsinicosocosp+cossinpsingcospC, =singcosopcosicososinp-singcosp-singicososinp+coscospcostsingsinpsingcoso17同理，第二种欧拉角如图2-4所示，假定在起始时刚体坐标系0x,y,z,与参考坐标系 0%。y。。重合，通过三次转动处于图2-4所示位置。第一次转动是绕x轴的正向转过α角到达ox.y,,位置；第二次转动是绕.轴的正向（也有定义为负向）转过β角到达%位置，第三次转动是绕轴的正向转过到达ox,yz,位置。这一种欧拉角一般用于研究框架陀螺仪转子的运动。对框架陀螺仪而言，这里的ox.y.,坐标系可代表外框架；oxz坐标系可代表内框架；Tox,yz,坐标系可代表转子，而α、β、分别代表了转子绕外框轴、内框轴和自转轴的转角。通常图2-4欧拉角原理图2称这样转动的欧拉角为框架角。仍将各坐标系简记为o系、a系、b系和r系。o系与a系之间的坐标变换关系为：00[10sinαcosαLO-sinacosαa系与b系之间的坐标变换关系为：
航空机载惯性导航系统cosB0-sinβt.010Lsinβ0cosBb系与r系之间的坐标变换关系为：[cossiny0Xh2siny cos 001.0由此得到系与系之间的坐标变换关系：CCC其中方向余弦矩阵C具体表达式为：[cosBcosysinasincosy+cosasiny-cosasinβcosy+sinasinyC=-cosBsiny-sinasinβsiny+cosacoscosasinBsiny+sinacosysinβ-sinacosBcosacosB由上述关系可知，对于定点转动的刚体，只要给定一组欧拉角，就能唯一确定刚体坐标系三根轴的9个方向余弦，从而唯一地确定刚体在空间的角位置。因此，通常都是用欧拉角作为描述刚体角位置的广义坐标。18第三节惯性导航系统常用坐标系一、惯性参考坐标系在研究物体的运动时，一般都是应用牛顿力学定律以及由它导出的各种定理。在牛顿第二定律F=m·a中，m是物体的质量，F是作用在物体上的外力，a是物体的加速度。应该特别注意，这里的是绝对加速度，因而在应用牛顿第二定律研究物体的运动时，计算加速度a所选取的参考坐标系决不能是任意的，它必须是某种特定的参考坐标系。经典力学认为，要选取一个绝对静止或作匀速直线运动的参考坐标系来确定加速度，牛顿第二定律才能成立。在研究惯性传感器和惯性系统的力学问题时，通常将相对恒星所确定的参考系称为惯性空间，空间中静止或匀速直线运动的参考坐标系称为惯性参考坐标系。对于研究行星际间运载体的导航定位问题，惯性参考坐标系的原点通常取在日心。根据天文学的测量结果，太阳绕银河系中心的旋转周期为190×106年，旋转角速度约为0.001（"）角秒/年，太阳对银河系的向心加速度约为2.4×10"g（g为重力加速度），因此，惯性参考坐标系的原点取在日心并不会影响所研究问题的精确性。对于研究地球表面附近运载体的导航定位问题，惯性参考坐标系的原点通常取在地心。因地球绕太阳公转使该坐标系的原点具有向心加速度，约为6.05×10-g，故惯性参考坐标系的原点取在地心也不会影响所研究问题的精确性
第2章惯性导航基础理论二、地球坐标系地球坐标系ox.yz.如图2-5所示。其原点取在地心，z轴沿极轴（地轴）方2极轴向；*轴在赤道平面与本初子午面的交线上，本初子午面y.轴也在赤道平面内并与。、z.轴构成右手直角坐标系。地球坐标系与地球固连，随地球一起转动。地球绕极轴作自转运动，并沿椭圆轨道绕太阳作公转运动。在一年中，地球相对于太阳自转了365.25周，并且还公转了1周，所以在一年中地球相对于恒星自转了366.25周。换句话说，地球相对于恒星自转1周所需的时间，略短于地球相对太阳自转一周所需的时赤道平面间。地球相对于太阳自转一周所需的时间（太图2-5地球坐标系阳日）是24h。地球相对于恒星自转一周所需的时间（恒星日）约为23h56min4.09s。在一个恒星日内地球绕极轴转动了360°，所以地球坐标系相对惯性参考系的转动角速度的数值为：W=15.0411()/h=7.2921×10~rad/s19在导航定位中，运载体相对地球的位置通常不用它在地球坐标系中的直角坐标来表示，而是用经度入、纬度和高度h来表示。三、地理坐标系地理坐标系oxyz如图2-6所示。其原点位于运载体所在的点，x轴沿当地纬线指东；y轴沿当地子午线指北；z，沿当地地垂线并与、轴构成右手直角坐标系。轴与z轴构成的平面即为当地子午面。当运载体在地球上航行时，运载体相对地球的位置不断发生改变：而地球上不同地点的地理坐标系，其相对地球坐标系的角位置是不相同的。也就是说，运载体相对地球运动将引起地理坐标系相对地球坐标系转动。这时地理坐标系相对惯性参考系的转动角速度应包括两个部分：一是地理坐标系相对地球坐标系的转动角速度；二是地球坐标系相对惯性参考系的转动角速度。其相对关系如图2-7所示。以运载体水平航行的情况为例进行讨论，见图2-8。设运载体在地球上的纬度为，航行高度为h，航行速度为，航向角为也。把航行速度分解成沿地理北向和东向的两个分量，即：UN=wcoshUg=vsind
航空机载惯性导航系统zz极轴泰道图2-6地理坐标系图2-7运载体与地理坐标系的相对关系航行速度北向分量引起地理坐标系绕着平行于地理东西方向的地心轴相对地球坐标系转动，其转动角速度为：UNucosth8mR+hR+h航行速度东向分量引起地理坐标系绕着极轴相对地球坐标系转动，其转动角速度为：UEusinh120(R+h)cosp(R+h)cosp把角速度平移到地理坐标系的原点，并投影到地理坐标系的各轴上，可得：ucosh-0=R+husindAcosoR+husind=入sinp=tangR+h上式表明，航行速度将引起地理坐标系绕地理东向、北向和垂线方向相对地球坐标系转动。地球坐标系相对惯性参考系的转动是由地球自转引起的，参见图2-9。把角速度@，平移到地理坐标系的原点，并投影到地理坐标系的各轴上，可得：=0=w.cosp=Wsinp上式表明，地球自转将引起地球坐标系连同地理坐标系绕地理北向和垂线方向相对惯性参考系转动。综合考虑地球自转和航行速度的影响，地理坐标系相对惯性参考系的转动角速度在地理坐标系各轴上的投影表达式为：