二、 确界若数集S有上界，则必有无穷多个上界，而其中最小的一个具有重要的作用．最小的上界称为上确界．同样，若S有下界，则最大的下界称为确界.定义2 设SiR,S!E若hIR满足：(i)"xI S,xth; (ii)"a<h,Sx,I S, 使得x,>a,则称h是S的上确界，记为h=supS邀回前页后页
前页 后页 返回 二、确界 定义2 若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为 下确界
注1 条件(i) 说明 h 是 s的一个上界，条件(ii)说明 小的数都不是s的上界，从而h是最小的上界，即上确界是最小的上界注2显然，条件（ii）亦可换成："e>0,sx,i S,x, >h- e.axh点击上图动画演示巡回后页前页
前页 后页 返回 点击上图动画演示 注2 注1 条件(i) 说明 是 的一个上界, 条件(ii) 说明比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上 界,即上确界是最小的上界
定义3设SiR,SE 若xiR满足：(i) "xi S, x3 x;(ii) "b >x, sx,I S, x, <b;则称x是S的下确界，记为x=infS注1由定义，下确界是最大的下界注2下确界定义中的(ii),亦可换成"e >0,$x, I S,x, <x+e.巡回前页后页
前页 后页 返回 定义3 注2 注1 由定义,下确界是最大的下界
例2 设 S-1 x x=1. 1,n=1,2,L , 求证nbsup S =1,inf S = 0.证先证supS-1.()"ri S,x-1- 't1;n(i)设a<1. 若a t0, 则取x,=1- ,i s, x, >a.若α>0,则令e=1-a>0,由阿基米德性,$ ng<e.令x,-1. i s,则 x, >1-e =a.使得nono因此, sup S =1.后页巡回前页
前页 后页 返回 证 先证 sup S=1. 例2
再证infS=0.(i)"xi s,x-1. I 0;n(i)"a >0,sx, =0i S,x,<a因此inf S=0虽然我们定义了上确界，但并没有证明上确界的存在性，这是由于上界集是无限集，而无限数集不一定有最小值，例如（0,口）无最小值以下确界原理也可作公理，不予证明巡回后页前页
前页 后页 返回 以下确界原理也可作公理,不予证明. 虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集 不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值