线性代数教案第1章行列式在n,n-1…3,2,1中，只有逆序，没有顺序，故有1t(n(n-1)...21)=(n-1)+(n-2)+2+1:n(n-1)2例5：用两种方法求排列32514的逆序数5.对换定义4:排列i，i2，i，中，交换任意两数与i的位置，称为一次对换，记为(is,i).如：21534（3)23514,T(21534)=3，所以21534是奇排列；t(23514)=4，所以23514是偶排列;一般地有以下结论定理1：任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性定理2：在一个n级排列中（n≥2），奇偶排列各占一半三、巩固练习确定i和j的值，使得9级排列3972i15j4成奇排列.四、小结1.排列；2.逆序数。教学反思：一、教学过程中的亮点与不足1.亮点：（1）注重理论与实践相结合，通过实际例子帮助学生理解抽象概念。（2）引导学生主动思考，鼓励他们提出问题并尝试解决，培养了他们的自主学习能力。2.不足：（1）部分学生在计算逆序数时仍感到困难，需要更多的练习和指导。（2）在课堂时间分配上，理论讲解与实践活动的比例需要进一步优化，以确保学生有足够的时间进行实践操作。（3）对于一些基础较弱的学生，缺乏针对性的辅导和支持，导致他们在学习过程中感到吃力。三、改进措施与建议1.加强练习：针对学生在计算逆序数时遇到的困难，增加相关练习题的数量和难度，帮助他们熟练掌握计算方法。2.优化时间分配：在课前做好充分的准备，确保课堂节奏紧凑有序，避免时间浪费。3.关注个体差异：对于基础较弱的学生，提供个性化的辅导和支持，帮助他们克服学习困难。鼓励学生在学习过程中相互帮助、共同进步，形成良好的学习氛围。4.反思与总结：在每节课后，引导学生进行反思和总结，帮助他们回顾本节课的学习内容，巩固所学知识。鼓励学生提出问题和建议，以便教师及时调整教学策略和方法，提高教学质量。计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 在 n n, 1, 3,2,1 − 中,只有逆序,没有顺序,故有 1 ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 2 n n n n n n − = − + − + + = − . 例 5：用两种方法求排列 32514 的逆序数. 5.对换 定义 4:排列 n i ,i , i 1 2 中，交换任意两数 t i 与 s i 的位置，称为一次对换，记 为 t ( , ) s i i . 如: (1,3) 21534 23514 ⎯⎯⎯→ , (21534 3 ) = ,所以 21534 是奇排列; (23514 4 ) = ,所以 23514 是偶排 列; 一般地有以下结论. 定理 1:任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性. 定理 2:在一个 n 级排列中（ n 2 ），奇偶排列各占一半. 三、巩固练习 确定 i 和 j 的值,使得 9 级排列 3972i15j4 成奇排列.． 四、小结 1.排列； 2.逆序数。 教学反思： 一、教学过程中的亮点与不足 1.亮点： （1）注重理论与实践相结合，通过实际例子帮助学生理解抽象概念。 （2）引导学生主动思考，鼓励他们提出问题并尝试解决，培养了他们的自主学习能力。 2.不足： （1）部分学生在计算逆序数时仍感到困难，需要更多的练习和指导。 （2）在课堂时间分配上，理论讲解与实践活动的比例需要进一步优化，以确保学生有足够的时间进 行实践操作。 （3）对于一些基础较弱的学生，缺乏针对性的辅导和支持，导致他们在学习过程中感到吃力。 三、改进措施与建议 1.加强练习：针对学生在计算逆序数时遇到的困难，增加相关练习题的数量和难度，帮助他们熟练 掌握计算方法。 2.优化时间分配：在课前做好充分的准备，确保课堂节奏紧凑有序，避免时间浪费。 3.关注个体差异：对于基础较弱的学生，提供个性化的辅导和支持，帮助他们克服学习困难。鼓励 学生在学习过程中相互帮助、共同进步，形成良好的学习氛围。 4.反思与总结：在每节课后，引导学生进行反思和总结，帮助他们回顾本节课的学习内容，巩固所 学知识。鼓励学生提出问题和建议，以便教师及时调整教学策略和方法，提高教学质量
线性代数教案第1章行列式授课题目81.2行列式的定义课次：11. 知识目标（1）了解二、三阶行列式。（2）掌握行列式的定义。2.能力目标（1）提高计算能力：通过行列式的计算练习，学生应能提高自身的计算能力，熟练掌握行列式的计算方法。（2）培养抽象思维能力：行列式的概念较为抽象，学生需要通过学习行列式的定义，教学目标培养自身的抽象思维能力，从而更好地理解和应用行列式。3.情感与态度目标（1）激发学习兴趣：通过行列式的学习，学生应能体会到线性代数的魅力和实用性，从而激发对数学的兴趣和好奇心。(2)培养严谨的数学态度：行列式的计算需要严谨的数学态度，学生应能养成认真、细致、严谨的学习习惯，注重细节和准确性。（3)增强自信心：通过掌握行列式的定义，学生应能增强自身的自信心，相信自己能够解决复杂的数学问题。教学重点n阶行列式的定义教学难点n阶行列式的定义板书与多媒体结合、学习通教学手段教学方法案例教学法、讲授法1 课时教学时数备注教学过程一、复习引入中学学过解二元一次方程组ax+a,y=c,b,x+b,y=C2如果有解，它的解完全可由他们的系数(aj,a2,br,b2,Ci,c2)表示出来。(1)xb(1)(3)[ax+ay=cabx+a,by=cb(2)b,x+b,y=c2(2)x)(4)abx+aby=ac2(4)-(3= (a,b, -a,b,)y=(ac, -b,c.)aicac2-bci=b ca若ab-ab0，则y=(2)ai2a,b,-a,b[b b2cia2[c2b,同理x=(3)aa2[b 2计算机与数学基础教学部王娜- 1
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 1 - 授课题目 §1.2 行列式的定义 课次：1 教学目标 1.知识目标 （1）了解二、三阶行列式。 （2） 掌握行列式的定义。 2.能力目标 （1）提高计算能力：通过行列式的计算练习，学生应能提高自身的计算能力，熟练 掌握行列式的计算方法。 （2）培养抽象思维能力：行列式的概念较为抽象，学生需要通过学习行列式的定义， 培养自身的抽象思维能力，从而更好地理解和应用行列式。 3.情感与态度目标 （1）激发学习兴趣：通过行列式的学习，学生应能体会到线性代数的魅力和实用性， 从而激发对数学的兴趣和好奇心。 (2)培养严谨的数学态度：行列式的计算需要严谨的数学态度，学生应能养成认真、 细致、严谨的学习习惯，注重细节和准确性。 (3)增强自信心：通过掌握行列式的定义，学生应能增强自身的自信心，相信自己能 够解决复杂的数学问题。 教学重点 n 阶行列式的定义 教学难点 n 阶行列式的定义 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 案例教学法、讲授法 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 中学学过解二元一次方程组 + = + = 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 如果有解，它的解完全可由他们的系数 ( ) 1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c ,c 表示出来。 + = + = (2) (1) 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 1 1 (1) (2) b a + = + = (4) (3) 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 a b x a b y a c a b x a b y c b ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 (4) (3) a b − a b y = a c − b c − . 若 a1b2 − a2b1 0 ，则 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 b b a a b c a c a b a b a c b c y = − − = （2） 同理 1 2 1 2 2 2 1 2 b b a a c b c a x = （3）
线性代数教案第1章行列式其中 均称为二阶行列式。bc21brb211c2b2二、讲授新课（一）二阶、三阶行列式定义1：由22=4个数，按下列形式排成2行2列的方形[a α2记作D2a21a22au2其被定义为一个数：a22-a2a21[a21a22[32例1计算二阶行列式的值12[3x, -2x2 =12例2求解二元线性方程组[2x +x =1由33=9个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数a12a3a21a22a23=2233+2231+a3232D, =a31a32a3313223—2332-12233一般2阶，3阶行列式的计算可按对角线法则得到132例3计算三阶行列式D=-103215三阶行列式定义的特征：(1)共有3！=6项相加，其结果是一个数：(2)每项有3个数相乘：aip,2p,a3p,，而每个数取自不同行不同列，即行标固定为123，列标则是1，2，3的某个排列PiP2P3:每项的符号由列标排列PPaP的奇偶性决定，即符号是（-1)(pipap)。(3)计算机与数学基础教学部王娜2
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 2 - 其中 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , c b c a b b a a b c a c 均称为二阶行列式。 二、讲授新课 （一）二阶、三阶行列式 定义 1：由 2 4 2 = 个数，按下列形式排成 2 行 2 列的方形 21 22 11 12 a a a a ， 记作 D2 其被定义为一个数： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − . 例 1 计算二阶行列式的值 3 2 2 1 − . 例 2 求解二元线性方程组 1 2 1 2 3 2 12 2 1 x x x x − = + = . 由 3 9 3 = 个数组成的 3 行 3 列的 3 阶行列式，则按下列形式定义为一个数 D3 = 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 一般 2 阶, 3 阶行列式的计算可按对角线法则得到. 例 3 计算三阶行列式 2 1 5 1 0 3 1 3 2 D = − 三阶行列式定义的特征： （1） 共有 3！=6 项相加，其结果是一个数； （2） 每项有 3 个数相乘： 1p1 2 p2 3 p3 a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行 标固定为 123，列标则是 1，2，3 的某个排列 p1 p2 p3 ； （3） 每项的符号由列标排列 p1 p2 p3 的奇偶性决定，即符号是 ( ) 1 2 3 ( 1) p p p −
第1章行列式线性代数教案故三阶行列式可写成a2a3T(PiP2D,=a21 a22 a23=1a2p2a3p5a31a32a33注意对角线法则仅适用于2阶和3阶的行列式，下面我们介绍n阶行列式的定义及其计算方法练习1（二）n阶行列式定义2由n2个数排成n行n列，写成a2..na2a..a2n(1)D=：anan2.am称为n阶行列式，其中a,为第i行，第j列的元素；其值为n!项，每一项取自不同行不同列的n个元素的连乘积，即asa2iam.的代数和.其中jjj,构成一个n级排列若用D表示行列式，则D=Z（-1)(）aza2m。(2)hJ2--.Z (-1)r(i--jn)a,2im.表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列Jij2--J.所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到n阶行列式的另一种定义形式：定义3D=Z(-1)(b-ag%,.un,ii2-即把列标写成标准排列i2..i,为行标的一个n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式定义4 D=Z(-1)((au u,其中i..i,为行标的一个n阶排列，jij.j为列标的一个n阶排列强调：（1）n阶行列式的定义具有类似的三项特征，（2）位置与位置上的元素区别特别，定义一阶行列式（即n=1）为：la=a-若行标不按照自然顺序排列，如何确定符号？计算机与数学基础教学部王娜- 3 -
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 3 - 故三阶行列式可写成 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3! ( ) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 ( 1) p p p p p p a a a a a a a a a a a a D = = − 注意 对角线法则仅适用于 2 阶和 3 阶的行列式,下面我们介绍 n 阶行列式 的定义及其计算方法. 练习 1 （二） n 阶行列式 定义 2 由 2 n 个数排成 n 行 n 列，写成 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a D = （1） 称为 n 阶行列式,其中 ij a 为第 i 行,第 j 列的元素；其值为 n! 项,每一项取自不同 行不同列的 n 个元素的连乘积,即 1 2 1 2 . n j j nj a a a 的代数和.其中 1 2. n j j j 构成一个 n 级排列. 若用 D 表示行列式，则 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a D = − （2） 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a − 表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列 所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到 n 阶行 列式的另一种定义形式： 定义 3 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n i i i i i i n i i i a a a D = − ， 即把列标写成标准排列 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列.由此，得到行列式更一般 的定义形式. 定义 4 1 2 1 2 1 1 2 2 ( . ) ( . ) ( 1) . n n n n i i i j j j i j i j i j a a a + D = − ， 其中 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列， 1 2. n j j j 为列标的一个 n 阶排列. 强调： （1） n 阶行列式的定义具有类似的三项特征， （2）位置与位置上的元素区别. 特别，定义一阶行列式（即 n = 1 ）为： 11 11 a = a . 若行标不按照自 然顺序排列，如何 确定符号？
线性代数教案第1章行列式的符号例4确定四阶行列式展开式中a32a4a4a23ad24a21a2223a24例5四阶行列式D：共有多少项？乘积a31 3233a34aia2aA12α2443244,是D中的项吗？解共有4!=24项。乘积ai2a24a32a4,不是D中的一项，因为其中有两个元素ai2，a3均取自第2列00010020030003练习：计算行列式练习2x112x1/求x的系数例3已知D=32x1[112x1解由行列式的定义，展开式的一般项为(-1)(ijsi)α1,23;24要出现x的项，则a，需三项取到x.显然行列式中含x的项仅有两项，它们是：(-1)(1234)ai4245;4及 (-1)(1243)aia224y43即x·x-x·1=x及(-1)-x·x·1.-2x=-2x故x的系数为1+(-2)=-1（三）特殊行列式下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶行列式.1.对角行列式ao..(00..a22称D=为对角行列式:1000..a.根据行列式的定义得计算机与数学基础教学部王娜- 4 -
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 王娜 - 4 - 例 4 确定四阶行列式展开式中 a a a a 32 14 41 23 的符号 例 5 四 阶 行 列 式 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 共 有 多 少 项 ？ 乘 积 12 24 32 41 a a a a 是 D 中的项吗？ 解 共有 4! 24 = 项. 乘积 12 24 32 41 a a a a 不是 D 中的一项，因为其中有两个元 素 12 a ， 32 a 均取自第 2 列. 练习：计算行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 . 练习 2 例 3 已知 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 x x x x − D = ，求 3 x 的系数. 解 由行列式的定义，展开式的一般项为 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 ( 1) j j j j j j j j a a a a − 要出现 3 x 的项，则 i ij a 需三项取到 x .显然行列式中含 3 x 的项仅有两项，它们是： (1234) 11 22 33 44 ( 1) a a a a − 及 (1243) 11 22 34 43 ( 1) a a a a − 即 3 x x x x =1 及 3 ( 1) 1 2 2 − = − x x x x 故 3 x 的系数为 1 ( 2) 1 + − = − . （三）特殊行列式 下面利用行列式的定义来计算几种特殊的 n 阶行列式. 1．对角行列式 称 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn a a a D = 为对角行列式. 根据行列式的定义得