定理1（闭图像定理设X,Y是Banach空间，T：X→Y是线性算子，若T是闭算子，则T连续证明：定义P : G(T) > X,P(x,Tx) = x,V(x,Tx)EG(T)则P是线性的、到上的
定理 1 (闭图像定理) 设 是Banach空间， 是线性算子， 若 是闭算子，则 连续. X Y, T X Y : → T T 证明：定义 : ( ) , ( , ) , ( , ) ( ). P G T X P x Tx x x Tx G T → = 则 P 是线性的、到上的
P还是一一的.实际上，若 P(xi,Tx)=P(x2,Tx2)即X = X2，从而(Xi,Tx)=(x2, Tx2).故P-1存在,P-lx =(x,Tx), Vx E X.现在 P(x,Tx)l =x≤(x,Tx),故/Pl≤ 1.根据逆算子定理，P-有界，从而Tx≤x+Tx=(x, Tx)=p-Ix≤P-1lxl, Vx E X即T≤P-，T连续
P 还是一一的.实际上，若 1 1 2 2 P x Tx P x Tx ( , ) ( , ) = 即 x x 1 2 = ，从而 ( , ) ( , ) x Tx x Tx 1 1 2 2 = .故 P −1 存在， 1 P x x Tx x X ( , ), . − = 现在 P x Tx x x Tx ( , ) ( , ) , = 故 P 1. 根据逆算子定理， P −1 有界，从而 1 1 ( , ) , . Tx x Tx x Tx P x P x x X − − + = = 即 T P −1 ， T 连续