真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1+3 x+3 A B x2-5x+6(x-2)x-3)x-2x-3 x+3=A(x-3)+B(x-2), x+3=(4+B)x-(34+2B), A+B=1 → A=-5 1-(3A+2B)=3, IB=6 x+3 5 6 x2-5x+6x-2x-3 上页
真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1
C 例2 A B = 十 x(x-1) 2 X (x-1)2x =A(x-1)2+Bx+Cx(x-1) (1) 代入特殊值来确定系数A,B,C 取x=0,→A=1取x=1,→B=1 取x=2,并将A,B值代入(1)→C=-1 1)2x(x-1)2x-1 上页
2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2
1 A Bx+c 例3 (1+2x)(1+x2)1+2x1+x2 1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+2x) 整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, 2 工工工 B+2C=0,→A=,B=-C 5 A+C=1, x+ (1+2x)(1+x2)1+2x1+h 5 5 上页
例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 整理得
例4求积分 解 dx X(S 1 =lnx一 In(x-1)+c. x-1
例4 求积分 . ( 1) 1 2 dx x x − dx x x − 2 ( 1) 1 dx x x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 dx x dx x dx x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x − − + − = − 解
例5求积分 (1+2x)(1+x 2 c. C+ 解 5 )dx (1+2x)(1+x) 1+2r"t;5 1+x 1c 2x ln(1+2x) 2 d x t d x 5 51+x 51+x2 In(1+2x)-=In(1+x)+arctan +C. 5 5 5 上页
例5 求积分 解 . (1 2 )(1 ) 1 2 + + dx x x dx x x dx x + − + + + = 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 dx x dx x x x + + + = + − 2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2 = + x − + x + x + C