N4(x)=f(x0)+(x-x0)[x0,x1]+(x-x0(x-x1)f[x,x1,x2 +(x-x0(x-x1)(x-x2)[x2,x1,x2,x3 +(x-x0(x-x1)(x-x2)(x-x3)f[x02x12x2,x32x4 f(x0)+(x-x0)([x2x1]+(x-x1)[x0,x,x2] +(x-x2)[x0,x12x2,x3]) (42.3)
4 0 0 0 1 0 1 0 1 2 N x f x x x f x x x x x x f x x x ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] = + − + − − 0 1 2 0 1 2 3 + − − − ( )( )( ) [ , , , ] x x x x x x f x x x x 0 1 2 3 0 1 2 3 4 + − − − − ( )( )( )( ) [ , , , , ] x x x x x x x x f x x x x x 0 0 0 1 1 0 1 2 = + − + − f x x x f x x x x f x x x ( ) ( )( [ , ] ( )( [ , , ] 2 0 1 2 3 + − ( ) [ , , , ])) x x f x x x x (4.2.3)
例题 例42.1试用 Newton插值公式计算sinx在x=m/12 处的近似值。 解先列差商表如表4.2.2所示,所以得 N4(,)=0+(17-00.9549296587/2_0.2086076+ 12 126 )(-0.13648909+(-) ×0.028797106)) 124 123 =0.258587908
例题 例4.2.1 试用Newton插值公式计算sinx在x=π/12 处的近似值。 解 先列差商表如表 4.2.2 所示，所以得 0.258587908 ) 0.028797106))) 12 3 )( 0.13648909 ( 12 4 ( )( 0.2086076 12 6 0)(0.954929658 ( 12 ) 0 ( 12 (4 = − − + − = + − + − − + N
表422f(x)=sinx关于节点0, 丌丌丌 的差商表 阶差商 二阶差商三阶差商 四阶差商 x X 0.954929658 0.791089691 -0.2086076 x4π3π2 0.607024424 0.35153865-0.13648909 0.25587263 -044710035-0091254700028797106
表 4.2.2 f(x)=sin x 关于节点0, , , , 6 4 3 2 的差商表 k x ( ) k f x 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0 6 1 2 0.954 929 658 4 2 2 0.791 089 691 -0.208 607 6 3 3 2 0.607024424 -0.351 538 65 -0.136 489 09 2 1 0.255 872 63 -0.447 100 35 -0.091 254 70 0.028 797 106
算法42.1( Newton插值法) (1)输入:x,f (2)=1=f(=0, (3)计算差商 对i=1,2,…,n做 1)对j=,计+1,…,n做 x, -x 2)对j,计+1,…,n做=f;
算法 4.2.1（Newton 插值法） (1) 输入： , i j x f (2) i j z f = （i=0，1，2，…，n） (3)计算差商 对 i=1，2，…，n 做 1)对 j =i，i+1，…，n 做 1 1 ( ) ( ) j j j j j z z f x x − − − = − ; 2)对 j =i，i+1，…，n 做 i j z f = ;
(4)计算插值Nl) 1)输入插值u; 2)v=0; 3)对i=mn-1,…,0做 V=v(-x)+f; (5)输出l,v
(4)计算插值 N(u) 1)输入插值 u； 2)v=0; 3) 对 i=n,n-1, … ， 0 做 i i v = v(u − x ) + f ； (5)输出 u,v