2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1.2数列的极限概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学妤函数极限的基础,而极限概念方法与分析问题 的思想,又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础。 定义1.11对数列{xn},若存在某个常数A,使当n无限变大时, xn-4可以任意小,即VE>0,3N>0与常数A,使当n>N时有 x-4<E,则称{xn}当n趋于无穷大时的极限为A,或收敛于A。记为 limx=A。 特别,若在上述的常数A=0,则称{xn}是当n趋于无穷大时的无穷小量 而当上述定义中的A不存在时,称{xn}当n趋于无穷大时的极限不存在,或发散 注:(1)极限等式lmx,=A不同与一般等式,首先是极限存在, 其次才是等于A。 (2)当极限lmxn=A存在时,{xn}中满足不等式xn-4<E的x有无 穷多项,不满足xn-4<E的只是有限多项。对极限的存在性,我们关心的是 n足够大时无穷多项的情况,而前端有限项对极限的存在性无关大局。 由此性质,可以推论:若 lim x=A, lim y=B,且A>B,则彐N>0 使当n>N时有xn>y 证明方法:只要令an=xn-yn即可完成证明 定义1.12对数列{xn},若当m无限变大时,xn也无限变大,即VG>0, 彐N>0,使当n>N时有x|>G,则称{xn}是当n趋于无穷大时的 无穷大量。记为 lim r = oo 特别,当xn在某一项xN之后(n>N)取正值无限变大时,则称{xn}是当 n趋于无穷大时的正无穷大量,记为 lim x=+ 此时的描述为vG>0,N>0,使当n>N时有xn>G 而当x在某一项x之后(n>N)取负值且|xn无限变大时,则称{xn}是当 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 1．2 数列的极限概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学好函数极限的基础，而极限概念方法与分析问题 的思想，又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础。 定义 1.11 对数列{xn }，若存在某个常数 A ，使当 n无限变大时， xn − A 可以任意小，即 ∀ε > 0，∃N > 0与常数 A ，使当 n > N 时有 x − A < ε n ，则称{xn }当 n趋于无穷大时的极限为 A ，或收敛于 A 。记为 x A。 n n = →∞ lim 特别，若在上述的常数 A = 0，则称{ }是当 趋于无穷大时的无穷小量。 xn n 而当上述定义中的 A 不存在时，称{ }当 趋于无穷大时的极限不存在，或发散。 xn n 注：（1）极限等式 x A不同与一般等式，首先是极限存在， n n = →∞ lim 其次才是等于 A 。 （2）当极限 xn A存在时， 中满足不等式 n = →∞ lim { } xn x − A < ε n 的 有无 穷多项，不满足 n x x − A < ε n 的只是有限多项。对极限的存在性，我们关心的是 n足够大时无穷多项的情况，而前端有限项对极限的存在性无关大局。 由此性质，可以推论： 若 xn A n = →∞ lim ， yn B n = →∞ lim ，且 A > B ，则∃N > 0， 使当 n > N 时有 。 n n x > y 证明方法：只要令 即可完成证明。 n n n a = x − y 定义 1.12 对数列{xn }，若当 n无限变大时， n x 也无限变大，即 ∀G > 0 ， ∃N > 0，使当 n > N 时有 xn > G ，则称{ }是当 趋于无穷大时的 xn n 无穷大量。记为 = ∞ →∞ n n lim x 。 特别，当 在某一项 之后（ ）取正值无限变大时，则称 是当 xn N x n > N { } xn n趋于无穷大时的正无穷大量，记为 = +∞ →∞ n n lim x 。 此时的描述为∀G > 0 ，∃N > 0，使当 n > N 时有 x G 。 n > 而当 xn 在某一项 x N 之后（ n > N ）取负值且 n x 无限变大时，则称{ }是当 xn 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 n趋于无穷大时的负无穷大量,记为 limx=-00。 此时的描述为VG>0,彐N>0,使当n>N时有x,<-G 例数列x=1+(-1)”n 为无穷大量,x=1+ 为正无穷大量,x 为负无穷大 1+nsin- n兀 量。数列x 不为无穷大量,也不收敛。 定义1.13对数列{xn},按下标n由小到大取出一列数n1,n2,…,n4,…,并将数列{xn} 中相应的项构成一个新的数列{xnk=1,2,},称这一新的数列{xn}为{xn}的子列 定义1.14对数列{xn},若存在{xn}的子列{xn},使得limx,=∞,则称{xn}当n 趋于无穷大时无界。此时可描述为:VG>0,丑N>0,使(某个xn)满足x|>G 由上述定义可知,无穷大量必然无界,而无界的数列未必是无穷大量。请见下例。 1.3数列极限的性质 1.3.1运算性质 (1)设limx,=A,c为实常数,则 lim cr,=cA(存在) A,liyn=B,则lim(xn±yn)存在, im(xn±yn)=A±B (3)设imxn=A, limy=B,则 limx,y=AB(存在)。 (4)设imxn=A,yn≠0,imyn=B≠0,则im=(存在 B (5)设 limx=∞,x,≠0,则lim-=0。 注:(1)只从极限存在的角度来看,上述运算性质的命题形式均为充分条件,不满足前面条 件时,结论不一定不成立 (2)利用上述运算性质可以计算某些极限,无穷大量作为极限不存在的一种特例,往往 不可进行直接运算,遇到无穷大量时,应设法将无穷大量转化为无穷小量,而无穷小量的运 算较为方便。 1.3.2解析性质 数列极限具有一些重要的解析性质,了解这些性质,对处理极限以及后续内容的学习会 有很大帮助 性质1极限的保序性(保号性 若{xn}有极限,且 limx=A>0,则当n足够大时必然有xn>0,换言之:一定 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -7-清华大学理科楼1101电话:6278178:
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 n趋于无穷大时的负无穷大量，记为 = −∞ →∞ n n lim x 。 此时的描述为∀G > 0 ，∃N > 0，使当 n > N 时有 xn < −G 。 例 数列 2 1 1 n x n n + (− ) = 为无穷大量， 2 1 n xn + = 为正无穷大量， 2 1 n xn − = 为负无穷大 量。数列 2 2 1 nπ n xn + sin = 不为无穷大量，也不收敛。 定义 1.13 对数列 ，按下标 由小到大取出一列数 ， 并将数列 中相应的项构成一个新的数列 { } xn n n1 ,n2 ,L,nk ,L { } xn {x k = 1,2,L} nk ，称这一新的数列{ }为 的子列。 nk x { } xn 定义 1.14 对数列{ }，若存在 的子列 ，使得 xn { } xn { } nk x = ∞ →∞ k n k lim x ，则称 当 趋于无穷大时无界。此时可描述为： { } xn n ∀G > 0 ，∃N > 0，使（某个 xn ）满足 xN > G 。 由上述定义可知，无穷大量必然无界，而无界的数列未必是无穷大量。请见下例。 1．3 数列极限的性质 1.3.1 运算性质 （1）设 xn A，c 为实常数，则 n = →∞ lim cxn cA n = →∞ lim （存在）。 （2）设 xn A， n = →∞ lim yn B n = →∞ lim ，则 lim( ) n n n x ± y →∞ 存在，且 xn yn A B n ± = ± →∞ lim( ) 。 （3）设 xn A， n = →∞ lim yn B n = →∞ lim ，则 xn yn AB n ⋅ = →∞ lim （存在）。 （4）设 xn A， n = →∞ lim ≠ 0 = ≠ 0 →∞ y yn B n n , lim ，则 B A y x n n n = →∞ lim （存在）。 （5）设 = ∞ ≠ 0 →∞ n n n lim x , x ，则 0 1 = →∞ n n x lim 。 注：（1）只从极限存在的角度来看，上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条 件时，结论不一定不成立 （2）利用上述运算性质可以计算某些极限，无穷大量作为极限不存在的一种特例，往往 不可进行直接运算，遇到无穷大量时，应设法将无穷大量转化为无穷小量，而无穷小量的运 算较为方便。 1．3.2 解析性质 数列极限具有一些重要的解析性质，了解这些性质，对处理极限以及后续内容的学习会 有很大帮助。 性质 1 极限的保序性（保号性） 若{ }有极限，且 ，则当 足够大时必然有 ，换言之：一定 xn = > 0 →∞ xn A n lim n xn > 0 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 彐N>0,使当n>N时有x>0。又若limx=A<0,则当n足够大时必然有x。<0 换言之:一定彐N>0,使当n>N时有x。<0 证:由 lim x=A>0,则VE>0,彐N>0,使当n>N时有 a-8<x <a+a 特别取A 0,则 A 3A <X<一,于是有x>>0。 性质1推论若{xn}有极限,且彐>0,使当n>N时有xn>0,则imxn=A≥0 注:本例题为性质1极限的保序性的重要推论 证:用反证法,假设 lim x=A<0,则由保序性可知:一定彐N>0,使当n>N时有 xn<0。与题设条件矛盾,于是只能是imxn=A≥0。 由性质1可进一步推论,即有下述应用结果:(这一结论常称之为极限的比较性质。 若 limx=A与 limy,=B都存在,且A>B,则彐N>0,使当n>N 时必有xn>yn。(证明方法:只要令an=xn-yn,即可完成证明。) 性质2唯一性 若{xn}有极限,则极限唯一,即若 limx=A,又 limx=B,则只能是A=B 性质3有界性 若{xn}有极限,则{xn}有界(n→∞)。这种有界性可描述为:若极限 lim x=A 存在,则一定M>0及某个N>0,使当n>N时有xn<M。 证:由 lim x=A存在,则VE>0,彐N>0,使当n>N时有 A-E<xn<A+E,特别取E=1>0,则 A-1<xn<A+1,取M=max{4-14+l}>0, 则当n>N时有xnl<M 注:掌握了序列极限的保序性概念,便不难理解函数极限的保序性概念,与此相 关的知识点还有:由一点处导数正负号导致的函数局部性质,积分的保序性概念 与比较性质,函数(一元与多元)的局部极值,梯度与散度概念导致的函数局部 性质,等等。 1.3.3数列极限的存在准则 (1)单调有界准则 定理3.1设{xn}为单调增序列,若有上界,即存在常数M∈R及某个N>0,使当 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -8-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∃N > 0，使当 n > N 时有 xn > 0 。又若 = < 0 →∞ xn A n lim ，则当 足够大时必然有 ， 换言之：一定 ，使当 时有 n xn < 0 ∃N > 0 n > N < 0 n x 。 证：由 = > 0 ，则 →∞ xn A n lim ∀ε > 0，∃N > 0，使当 n > N 时有 A − ε < x < A + ε n ，特别取 0 2 = > A ε ，则 2 3 2 A x A < n < ，于是有 0 2 > > A xn 。 性质 1 推论 若{ }有极限，且 ，使当 时有 ，则 。 xn ∃N > 0 n > N xn > 0 = ≥ 0 →∞ xn A n lim 注：本例题为性质 1 极限的保序性的重要推论。 证：用反证法，假设 = < 0 →∞ xn A n lim ，则由保序性可知：一定∃N > 0，使当 n > N 时有 < 0 n x 。与题设条件矛盾，于是只能是 = ≥ 0 →∞ xn A n lim 。 由性质 1 可进一步推论，即有下述应用结果：（这一结论常称之为极限的比较性质。） 若 xn A与 都存在，且 n = →∞ lim yn B n = →∞ lim A > B ，则∃N > 0，使当 n > N 时必有 xn > yn 。（证明方法：只要令 n n n a = x − y ，即可完成证明。） 性质 2 唯一性 若{ }有极限，则极限唯一，即若 xn xn A n = →∞ lim ，又 xn B n = →∞ lim ，则只能是 A = B 。 性质 3 有界性 若{xn }有极限，则{xn }有界（ n → ∞ ）。这种有界性可描述为：若极限 存在，则一定 及 某个 ，使当 时有 xn A n = →∞ lim ∃M > 0 N > 0 n > N x n < M 。 证：由 xn A存在，则 n = →∞ lim ∀ε > 0，∃N > 0，使当 n > N 时有 A − ε < x < A + ε n ，特别取ε = 1 > 0 ，则 A −1 < x < A +1 n ，取 M = max{ } A −1, A +1 > 0 ， 则当 n > N 时有 xn < M 。 注：掌握了序列极限的保序性概念，便不难理解函数极限的保序性概念，与此相 关的知识点还有：由一点处导数正负号导致的函数局部性质，积分的保序性概念 与比较性质，函数（一元与多元）的局部极值，梯度与散度概念导致的函数局部 性质，等等。 1．3.3 数列极限的存在准则 （1） 单调有界准则 定理 3.1 设{xn } 为单调增序列，若有上界，即存在常数 M ∈ R 及 某个 N > 0 ，使当 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785