6.设V）lP）EA,那么有CEC(AB)(ICl0) e C(geB)(Cl) = Tra (l)(/ 1)C)计算过程如下[=[)，=)iJC= Z Cmu,nv[m)(nl&lu)(ulm,un,(/Cl0)=Z mcmu,nen lu)(l(12)m,u,n,vTrA ((lo)(| 1)C)Tra[(gjvili)(il1)(cmu,v/m)(nl[u)(uD)]i.jm,μ,n,vjicmu,《kl)(im)(nk)/)(lk,i,jm,μ,n,考虑基向量的正交归一性之后，得到（12)式约化密度矩阵空间光=AB中的任意一个混合态的密度矩阵p可以在自然基上表示为=pijl)(=pijvi)l((13)ijuvijuv当然，矩阵元piu,jv须满足密度矩阵的要求我们先来考虑力学量在混合态p中的期望值.设X是两体系统整体的力学量，那么它的期望值是(X)e=Tr(Xp)=(iμlpljv)(jvlXjiμ)(14)ijuv如果我们仅仅考虑属于子系统A的某个力学量A,那么应该如何求得它在p上的期望值呢？考虑两体系统的时候，子系统的力学量A应该写为A1.因此A的期望值就是(A), = Tr[(A 1B)plTr(A1B)pijvli)jl)(lijuv(15)-Epiu,jvTr[Ajijllμ)(v]ijuv
6 设 j i; j'i 2 H A, 那么有 C 2 L(H A ˝ H B), h jCj'i 2 L(H B ) h jCj'i = TrA (j'ih j ˝ 1)C 计算过程如下. j i = X i i jii; j'i = X j 'j jj i C = X m;;n; cm;n jmihnj ˝ jihj h jCj'i = X m;;n; mcm;n'n jihj (12) TrA (j'ih j ˝ 1)C = X i;j;m;;n; TrA 'j i jj ihij ˝ 1 cm;n jmihnj ˝ jihj = X k;i;j;m;;n; 'j i cm;n hkjj i hijmi hnjki jihj 考虑基向量的正交归一性之后, 得到 (12) 式 约化密度矩阵 空间 H = H A ˝ H B 中的任意一个混合态的密度矩阵 可以在自然基上表示为 = X ij i;j jii hjj = X ij i;j jiihj j ˝ jihj (13) 当然, 矩阵元 i;j 须满足密度矩阵的要求. 我们先来考虑力学量在混合态 中的期望值. 设 X 是两体系统整体的力学量, 那么它的期望值是 hXi = Tr(X) = X ij hij jji hjj X jii (14) 如果我们仅仅考虑属于子系统 A 的某个力学量 A, 那么应该如何求得它在 上的期望值呢? 考虑两体系统的时候, 子系统的力学量 A 应该写为 A ˝ 1. 因此 A 的期望值就是 hAi = Tr (A ˝ 1 B ) = Tr 2 4(A ˝ 1 B ) X ij i;j jiihj j ˝ jihj 3 5 = X ij i;j Tr[A jiihj j ˝ jihj] (15)
7上述求迹是对整个空间光而言的，等价于先后在两个子空间上求迹，即Tr=TrATrB=TrBTrA.对（15)式求TrB，导致μ=V,求和指标中不再出现V,接着还要计算TrA，即(A)= TrAApiu.juli)(jl= TrA[ApA](16)iju这里，p4是p在4上的约化密度矩阵，即p4 = TrB(p)=piu,ju li)(jl(17)ju需要检验p4是否满足密度矩阵的三个性质.容易看出Tr(e4）=1以及p4=（p4)t以下过程可以说明它的正定性对于任意的Ix）E光A，有(xlp^ Ix) = TrA(pA Ix)(xl) =Tr[p(Ix)(xl1B)](18)=Tr(Ix)(xlE(a)(μl)=ETr[e(Ix) /u)(xl(μ)]=Z(xl (μl)p(Ix) lμ))≥0H其中(18)式的第二个等式可以通过（13)得到，也是以前提到过的关于部分迹的一个性质这里不带下标的求迹运算Tr是在整个空间e上进行的.上式的结果表明，对于任意的Ix),《xlp4Ix)0,即p4是正定的.于是p4满足密度矩阵的要求，描述了子系统A的局部的定域的量子态.同理，约化密度矩阵pB=TrA(p)描述了子系统B的局部的量子态。一般情况下，p≠p4pB，即整体的量子态不一定具有局部量子态的直积形式如果整体量子态是直积形式，即）=）[)，那么局部量子态分别是是）和1)如果整体量子态不是直积形式，即处于纠缠态，那么局部量子态是混合态。从整体上的纯态到局部上的混合态，反映了这样的事实：当子系统之间存在关联的时候，如果孤立地看到某个子系统，那么不能明确地描述这个子系统的状态.约化密度矩阵来自整体密度矩阵的部分迹，在某种程度上，数学上的求迹运算意味着物理上的测量过程，或者退相干过程，所以，简单而直接地谈论约化密度矩阵或局部量子态缺乏物理上的支持尽管如此，约化密度矩阵的数学形式可以很好地描述局部测量的结果的几率分布.考虑4和pB上的投影算符（不一定是一维的)I和IB把它们视作测量算符，对应的观测结果记作α和b，那么得到结果α和b的几率分别是Ⅱ4和IⅡB的期望值，p(a) = Tr[e(I 1B)] = Tra[o^]P(b) = Tr[e(14 IB)] = TrB[oBB)这意味着局部测量结果的几率分布取决于相应的约化密度算符．另一方面，联合测量结果（a，b）的几率等于p(a,b)=Tr[p(II4IIB)],我们可以从联合测量结果的几率分布得到边缘几率分布，p(a) =Zp(a,b), p(b) =p(a,b)ba
7 上述求迹是对整个空间 H 而言的, 等价于先后在两个子空间上求迹, 即 Tr = TrA TrB = TrB TrA. 对 (15) 式求 TrB, 导致 = , 求和指标中不再出现 , 接着还要计算 TrA, 即 hAi = TrA 2 4A X ij i;j jiihj j 3 5 = TrA AA (16) 这里, A 是 在 H A 上的约化密度矩阵, 即 A = TrB() = X ij i;j jiihj j (17) 需要检验 A 是否满足密度矩阵的三个性质. 容易看出 Tr A = 1 以及 A = ( A) . 以下过程可以说明它的正定 性. 对于任意的 j i 2 H A, 有 h j A j i = TrA( A j ih j) = Tr (j ih j ˝ 1 B ) (18) = Tr " j ih j ˝X jihj # = X Tr (j i ˝ ji)(h j ˝ hj) = X (h j ˝ hj)(j i ˝ ji) > 0 其中 (18) 式的第二个等式可以通过 (13) 得到, 也是以前提到过的关于部分迹的一个性质. 这里不带下标的求迹运算 Tr 是在整个空间 H 上进行的. 上式的结果表明, 对于任意的 j i, h j A j i > 0, 即 A 是 正定的. 于是 A 满足密度矩阵的要求, 描述了子系统 A 的局部的定域的量子态. 同理, 约化密度矩阵 B = TrA() 描述了子系统 B 的局部的量子态. 一般情况下, ¤ A ˝ B, 即整体的量子态不一定具有局部量子态的直积形式. 如果整体量子态是直积形式, 即 jΨi = j i ˝ j'i, 那么局部量子态分别是是 j i 和 j'i. 如果整体量子态不是直积形式, 即处于纠缠态, 那么局部量子态是混合态. 从整体上的纯态到局部上的混合态, 反 映了这样的事实: 当子系统之间存在关联的时候, 如果孤立地看到某个子系统, 那么不能明确地描述这个子系统的 状态. 约化密度矩阵来自整体密度矩阵的部分迹, 在某种程度上, 数学上的求迹运算意味着物理上的测量过程, 或者退相 干过程, 所以, 简单而直接地谈论约化密度矩阵或局部量子态缺乏物理上的支持. 尽管如此, 约化密度矩阵的数学 形式可以很好地描述局部测量的结果的几率分布. 考虑 H A 和 H B 上的投影算符 (不一定是一维的) ΠA a 和 ΠB b , 把它们视作测量算符, 对应的观测结果记作 a 和 b, 那么得到结果 a 和 b 的几率分别是 ΠA 和 ΠB 的期望值, p(a) = Tr (ΠA a ˝ 1 B ) = TrA[ AΠ A a ] p(b) = Tr (1 A ˝ Π B b ) = TrB[ BΠ B b ] 这意味着局部测量结果的几率分布取决于相应的约化密度算符. 另一方面, 联合测量结果 (a; b) 的几率等于 p(a; b) = Tr (ΠA ˝ ΠB) , 我们可以从联合测量结果的几率分布得到边缘几率分布, p(a) = X b p(a; b); p(b) = X a p(a; b)