当f(2)=Cn21(z-a)m1或f(z)=Cn1zm-时,就得到函 数项级数的特殊情形 >C,(z-a)"=Co+C(z-a)+C2(z-a)2+ n=0 +十C1(z-)+ (4.22) 或 C+Cz+c22+…+cnz"+…(42.3) n=0 这种级数称为幂级数 如果令z-a=4,则(42.2)成为z,这是 (42.3)的形式,为了方便,今后常就(42.3)讨论
16 这种级数称为幂级数. 如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为 , 这是 (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论 当fn(z)=cn-1(z-a) n-1或fn(z)=cn-1z n-1时, 就得到函 数项级数的特殊情形: (4.2.3) ( ) (4.2.2) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 - - - - n n n n n n n n n n c z c c z c z c z c z a c z a c c z a c z a 或 n0 n n c z
定理(阿贝尔Abel定理) 如果级数∑cnz”在z=20(≠0)收敛,则对满足 n=0 z|1z01的z,级数必绝对收敛,如果在z=z0 级数发散,则对满足|z|>|zo的2,级数必发散 y 0
17 定理一(阿贝尔Abel定理) , | | | | , . | | | | , , ( 0) , 0 0 0 0 0 级数发散 则对满足 的 级数必发散 的 级数必绝对收敛 如果在 如果级数 在 收敛 则对满足 z z z z z z z z c z z z n n n z0 x y O
因∑cn=收敛,则imcn==0 n→ 则存在M使对所有的n有|cn=0k<M 如果|z|4|z0,则 z /=09<1,而 Cnz” <Ma n20 0
18 [证] n n n n n n n n n n n n n n Mq z z c z c z q z z z z M n c z M c z c z 0 0 0 0 0 0 0 0 | | | | 1, | | | | | | | |, | | , lim 0, 如果 则 而 则存在 使对所有的 有 因 收敛 则