2.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,)为一复 数列,表达式 Cn=1+C,+…+an+ 称为无穷级数,其最前面n项的和 Sn=1+,+.+, 称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛, 则级数∑an称为收敛,并且极限ims=称 n=1 为级数的和如果数列{s}不收敛,则级数 ∑a称为发散
6 2. 级数概念 设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复 数列, 表达式 n n an a1 a2 a 1 . . { } , , lim 1 1 称为发散 为级数的和 如果数列 不收敛 则级数 则级数 称为收敛 并且极限 称 n n n n n n n s s s a a 称为无穷级数, 其最前面n项的和 sn =a1+a2+...+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛
定理二级数∑an收敛的充要条件是级数 ∑a和∑bn都收敛 n=1 证]因sn=a1+a2+.+an2=(a1+a2+…+an) +i(b1+b2+…+bn 12 其中σn=a1+a2+.+an,zn=b1+b2+.+bn分别为 ∑an和∑b的部分和,由定理 {sn}有极限存在的充要条件是{an}和{z}的极 限存在,即级数∑a和∑b,都收敛 n=1
7 定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 [证] 因sn =a1+a2+...+an =(a1+a2+...+an) +i(b1+b2+...+bn)=sn+itn , 其中sn =a1+a2+...+an , tn =b1+b2+...+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极 限存在, 即级数 和 都收敛. n1 a n n1 n a n1 n b n1 n a n1 n b n1 n a n1 n b
定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题 而由实数项级数∑a和∑b收敛的必要条件 lim a=0和 lim b=0 n→00 n→>00 立即可得 lima=0,从而推出复数项级数 ∑an收敛的必要条件是lman=0
8 定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题. lim 0. lim 0, lim 0 lim 0, 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a a 收敛的必要条件是 立即可得 从而推出复数项级数 和 而由实数项级数 和 收敛的必要条件
定理三 如果∑|an收敛则∑a也收敛且不等式 2a∑|an成立 由于 C-+ n=1 而|an√a2+b2, bk?+b2
9 定理三 成立 如果 收敛 则 也收敛 且不等式 1 1 1 1 | | | | , , n n n n n n n n a a a a 2 2 2 2 1 2 2 1 | | ,| | | | , n n n n n n n n n n n a a b b a b a a b 而 由于 [证]
可知级数∑|an∑b嘟收敛因而 n=1 ∑an和∑b也都收敛,则∑a,是收敛的 而又因区a∑|a因此 k ∑|ak n→)0 1- 或∑aA∑|a k=1 k=1 10
10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | lim lim | | | |, , . | | | | , k k k k n k k n n k k n n k k n k k n n n n n n n n n n a b a b a a a a a a a 或 而又因 因此 和 也都收敛 则 是收敛的 可知级数 及 都收敛 因而