4.由概率关系推不出事件间关系 概率中有这样的性质:若事件A,B有关系AcB,则其相应的概率关系是 P(4)≤P(B),反之却不真。例如 设PA)=01PB)=02P(A∪B)=02,此时AcB不成立,事实上,由 P(B)=P(4)+P(B)-P(4B)得出P(AB=01 于是P(A-AB)=P(4)-P(AB)=0 由问题3,这意味着可有4-AB≠中,从而未必有AcB。 5.试验次数多概率就一定大吗 在概率论的萌芽时期,有一个著名的( hevalier de Were)问题:一颗骰子掷4次至 少得一个1点,与两颗骰子掷24次至少得两个1点,这两个事件究竟哪个概率大? 曾引起很多人的注意。现在看来,利用独立试验概型容易求出它们的概率。 n次独立重复试验中事件A至少发生一次的概率为1-(1-p),其中P=P(A), Ig 2 现考虑欲体1-(1-py21n21-p),此式给出了n的下界,使问题得 以解决。 以掷一颗骰子作试验,要连续掷n次使1点至少出现一次的概率大于等于1/, 则n≥3.8以掷两颗骰子作试验,要连续掷n次使两个1点至少出现一次的概率大 于等于1,则n≥246由此得出,一颗骰子掷4次至少有一个1点的概率大于等于 1/2,而两颗骰子掷24次至少有一次得两个1点的概率小于1/2 本例说明试验次数很多,但概率不一定大。 6.概率与抽样方式是否有关 一般,所求事件的概率与抽样方式有关,常见的有放回抽样与不放回抽样两种。 前者指同一个体可被重复抽取,后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样,每 个体至多被抽到一次。 例如有n件产品,其中有m件次品,现随机抽取l件产品。求其中恰有k件次 品的概率。在抽样方式未定的情况下,此概率是不唯一的,事实上 P1=C(")(1-m) 若取放回抽样,所求概率 (1)
4． 由概率关系推不出事件间关系 概率中有这样的性质：若事件 A,B 有关系 A B , 则其相应的概率关系是 P(A) P(B) ,反之却不真。例如： 设 P(A)=0.1,P(B)=0.2, P(A B) = 0.2 , 此 时 A B 不成立，事实上，由 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) 得出 P(AB)=0.1. 于是 P(A − AB) = P(A) − P(AB) = 0 由问题 3，这意味着可有 A − AB ,从而未必有 A B 。 5． 试验次数多概率就一定大吗 在概率论的萌芽时期，有一个著名的(Chevalier de Were)问题：一颗骰子掷 4 次至 少得一个 1 点，与两颗骰子掷 24 次至少得两个 1 点，这两个事件究竟哪个概率大？ 曾引起很多人的注意。现在看来，利用独立试验概型容易求出它们的概率。 n 次独立重复试验中事件 A 至少发生一次的概率为 n 1− (1− p) ，其中 p = P(A) ， 现考虑欲使 2 1 1− (1− ) n p ，则 lg(1 ) lg 2 p n − − ，此式给出了 n 的下界，使问题得 以解决。 以掷一颗骰子作试验，要连续掷 n 次使 1 点至少出现一次的概率大于等于 1/2, 则 n 3.8.以掷两颗骰子作试验，要连续掷 n 次使两个 1 点至少出现一次的概率大 于等于 1/2,则 n 24.6.由此得出，一颗骰子掷 4 次至少有一个 1 点的概率大于等于 1/2,而两颗骰子掷 24 次至少有一次得两个 1 点的概率小于 1/2. 本例说明试验次数很多，但概率不一定大。 6． 概率与抽样方式是否有关 一般，所求事件的概率与抽样方式有关，常见的有放回抽样与不放回抽样两种。 前者指同一个体可被重复抽取，后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样，每一 个体至多被抽到一次。 例如有 n 件产品，其中有 m 件次品，现随机抽取 l 件产品。求其中恰有 k 件次 品的概率。在抽样方式未定的情况下，此概率是不唯一的，事实上： 若取放回抽样，所求概率 k k l k l n m n m p C − = ( ) (1− ) 1 （1）
CAC- 若取不放回抽样所求概率 显然P1≠P2 k=0,1,2,…,min(m,D) (1),(2)分别称为二项分布与超几何分布 当n→>∞时(2)→(1)即二项分布是超几何分布的极限分布。 由此得出如下结论:对于样本点个数较小的总体,在放回抽样与不放回抽样的 场合,事件的概率会有较大的差别。当总体中样本点个数很大,样本容量不大时, 这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大 7.事件概率与试验的先后次序是否有关 设有一口袋,内有a只黑球,b只白球,他们除颜色不同外没有其它不同之处 现把球一只只地摸出,求第k次摸出的是黑球的概率(1sksa+b) 初看题目,很可能会认为所求概率与摸球次序有关,若那样的话,体育比赛中 先后抽签者中签的机会就不均等了,这与我们日常生活中的经验不符,通过具体计算亦 可看出所求概率与摸球次序无关。 按自然顺序给球编号,不妨先给黑球编号,再给白球编号,取样空间为第k次 摸出的球的全部可能的结果,则Ω={o,O2…Umb}O表示第k次摸出第1号球, i=12…,a+b,于是要求的是事件A={O,O2,…O}的概率。由古典概率 P(Ad+b,PA)显然与k有关。 本题可用多种方法求解,这里介绍的是最简单的一种,本题存在多种解法的原 因,在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述,所以称本解法是最简单的,因 为解法中的样本空间是最小的。 第二章随机变量及其分布 1.离散型分布的最可能值是否唯 离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值,即若 任意一个离散型分布P1P2 ,若P=(P1,P2…Pn…), 则称k为此分布的最可能值。 一般离散型分布的最可能值不唯一,比如:二项分布B(np)中,当(+D)P为
若取不放回抽样 所求概率 l n l k n m k m C C C p − − 2 = （2） 显然 p1 p2 k = 0,1,2, ,min( m,l) （1），（2）分别称为二项分布与超几何分布。 当 n → 时 (2) → (1) 即二项分布是超几何分布的极限分布。 由此得出如下结论：对于样本点个数较小的总体，在放回抽样与不放回抽样的 场合，事件的概率会有较大的差别。当总体中样本点个数很大，样本容量不大时， 这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大。 7． 事件概率与试验的先后次序是否有关 设有一口袋，内有 a 只黑球，b 只白球，他们除颜色不同外没有其它不同之处， 现把球一只只地摸出，求第 k 次摸出的是黑球的概率 (1 k a + b) . 初看题目，很可能会认为所求概率与摸球次序有关，若那样的话，体育比赛中 先后抽签者中签的机会就不均等了，这与我们日常生活中的经验不符，通过具体计算亦 可看出所求概率与摸球次序无关。 按自然顺序给球编号，不妨先给黑球编号，再给白球编号，取样空间为第 k 次 摸出的球的全部可能的结果，则 { , , , } = 1 2 a+b i 表示第 k 次摸出第 I 号球， i = 1,2, ,a + b ，于是要求的是事件 { , , , } A = 1 2 a 的概率。由古典概率 a b a P A + ( ) = ，P(A)显然与 k 有关。 本题可用多种方法求解，这里介绍的是最简单的一种，本题存在多种解法的原 因，在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述，所以称本解法是最简单的，因 为解法中的样本空间是最小的。 第二章 随机变量及其分布 1． 离散型分布的最可能值是否唯一 离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值，即若 任意一个离散型分布 n n p p p x x x 1 2 1 2 ，若 sup( , , , , ) pk = p1 p2 pn ， 则称 k x 为此分布的最可能值。 一般离散型分布的最可能值不唯一，比如：二项分布 B（n,p）中，当 (n 1) p . + 为
非负整数时,恰有两个最可能值:(m+1)P与(m+1)P-1.如二项分布B(8,13) 其最可能值为k=2或3. 可以证明,任何离散型分布的最可能值一定存在,而且至少有一个。证明见王梓 坤《概率论基础及其应用》科学出版社) 2.单调不降右连续是分布函数的必要条件 分布函数一定是单调不降(右)连续的函数,反之命题不成立。例如,取 1x<-1 F(x)={x-1≤x<1 1x21,F(x)显然是调调不降函数,且右连续,可是 F(-∞)=-1≠0,所以F(x)不可能是某个随机变量的分布函数 因为只有当一个函数满足单调不见,非负有界(F(-∞)=0.F(+∞)=1,且右 连续(或左连续)时,才能成为某个随机变量的分布函数。 3.既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 如果一个分布函数F(x)是连续的,并且其导函数几乎处处等于零(关于勒贝格 测度而言),则称F(x)为奇异型分布函数。如果随机变量的分布函数是奇异型的, 则称X为奇异型随机变量 任何一个奇异型的分布函数都是一个既非离散型又非连续型的分布函数 有没有非奇异型的分布函数属于既非离散型又非连续型的分布函数? 0 0 x 0≤x<1 有,请看下例:设 x21,由分布函数的定义又知F(x)是 分布函数,又 F(x)=≠0,x∈(0)tF(x)不是奇异型的分布函数,与(x)对应
非负整数时，恰有两个最可能值： (n 1) p . + 与 (n +1) p −1.如二项分布 B（8，1/3）, 其最可能值为 k=2 或 3. 可以证明，任何离散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一个。证明见王梓 坤《概率论基础及其应用》 科学出版社） 2． 单调不降右连续是分布函数的必要条件 分布函数一定是单调不降（右）连续的函数，反之命题不成立。例如，取 − − − = 1 1 1 1 2 1 1 ( ) x x x x F x ， F(x) 显 然 是 调 调 不 降 函 数 ， 且 右 连 续 ， 可 是 F(−) = −1 0 ，所以 F(x) 不可能是某个随机变量的分布函数。 因为只有当一个函数满足单调不见，非负有界（ F(−) = 0,F(+) = 1 ，且右 连续（或左连续）时，才能成为某个随机变量的分布函数。 3． 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 如果一个分布函数 F(x) 是连续的，并且其导函数几乎处处等于零（关于勒贝格 测度而言），则称 F(x) 为奇异型分布函数。如果随机变量 X 的分布函数是奇异型的， 则称 X 为奇异型随机变量。 任何一个奇异型的分布函数都是一个既非离散型又非连续型的分布函数。 有没有非奇异型的分布函数属于既非离散型又非连续型的分布函数？ 有，请看下例：设 + = 1 1 0 1 2 1 0 0 ( ) x x x x F x ，由分布函数的定义又知 F(x) 是 分布函数，又 0, (0,1) 2 1 ( ) ' F x = x ，故 F(x) 不是奇异型的分布函数，与 F(x) 对应
的随机变量不是取有限个或可列多个值,故F(x)不是离散型的分布函数,又 f(x)dr= F(x)dr=l F(x)也不是连续的分布函数。 4.具有无记忆性的离散型分布是否存在 设随机变量Ⅹ服从某个分布,若它满足 P(X>s+tX>s)=P(X>t) 则称概分布具有无记忆性。 对于连续型分布来说,指数分布是唯一的具有无记忆性的。(证明可见复旦大学《概率 论》人们教育出版社P125-126)在可靠性问题中,把X理解为某元件的寿命,则无记忆 性表示某元件的寿命如果已知大于5年,则其寿命再延长七年的概率与年令无关 具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的,那就是几何分布 P(X=k)=p(1-p)-,k=1 几何分布是一种等待分布,例如在事件A发生的概率为p的贝努里试验之中,A首次 出现时的等待次数X的分布为几何分布。 5.不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 若两个随机变量ⅹ,Y满足P(X≠Y)=0,则称ⅹ与Y几乎相等 可以证明:几乎相等的随机变量具有相同的分布,反之都不成立。 例如,设X与Y具有相同的分布 P(X=Y)=≠1 P(X≠Y)=≠0 并设X与Y相互独立,据此可算得 即X与Y不几乎相等。 所以不几乎相等得随机变量可以有相同的分布 6.联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 我们知道二维正态分布的边缘分布仍为正态分布,多项分布的边缘分布亦为多项 分布。那么联合分布与边缘分布是否都是为同类型分布呢?答案是否定的。 例如二维均匀分布的边缘分布可以仍是均匀分布,也可以不是均匀分布。 边与坐标轴平行的矩形域上的二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布,而圆域上 的二维均匀分布的边缘分布不再是均匀分布 7.边缘分布不能决定联合分布
的随机变量不是取有限个或可列多个值，故 F(x) 不是离散型的分布函数，又 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 0 ' = = = − − f x dx F x dx dx 故 F(x) 也不是连续的分布函数。 4． 具有无记忆性的离散型分布是否存在 设随机变量 X 服从某个分布，若它满足 P(X s + t | X s) = P(X t) 则称概分布具有无记忆性。 对于连续型分布来说，指数分布是唯一的具有无记忆性的。（证明可见 复旦大学《概率 论》 人们教育出版社 P.125-126）在可靠性问题中，把 X 理解为某元件的寿命，则无记忆 性表示某元件的寿命如果已知大于 5 年，则其寿命再延长七年的概率与年令无关。 具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的，那就是几何分布 P(X = k) = p(1− p) k−1 , k =1,2, 几何分布是一种等待分布，例如,在事件 A 发生的概率为 p 的贝努里试验之中，A 首次 出现时的等待次数 X 的分布为几何分布。 5． 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 若两个随机变量 X,,Y 满足 P(X Y) = 0 ,则称 X 与 Y 几乎相等。 可以证明：几乎相等的随机变量具有相同的分布，反之都不成立。 例如，设 X 与 Y 具有相同的分布 − 2 1 2 1 1 1 并设 X 与 Y 相互独立，据此可算得 1 2 1 P(X = Y) = ，从而 0 2 1 P(X Y) = ， 即 X 与 Y 不几乎相等。 所以不几乎相等得随机变量可以有相同的分布。 6． 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 我们知道二维正态分布的边缘分布仍为正态分布，多项分布的边缘分布亦为多项 分布。那么联合分布与边缘分布是否都是为同类型分布呢？答案是否定的。 例如二维均匀分布的边缘分布可以仍是均匀分布，也可以不是均匀分布。 边与坐标轴平行的矩形域上的二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布，而圆域上 的二维均匀分布的边缘分布不再是均匀分布。 7． 边缘分布不能决定联合分布