同理可以给出另外几种情形的定义：(1）若点b是f(x)的瑕点(f(x)在点b的任一左邻域无界）I, f(x)dx = lim J'f(x)dx(2)若点c (a,b)是f(x)的瑕点(f(x)在点c的任一邻域无界）J, f(x)dx =,f(x)dx+J'f(x)dx= lm J"f(x)dx+ lim J'(x)dx当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。(3)若点a、b都是f(x)的瑕点，则VcE(a,b)J f(x)dx=ff(x)dx+ J'f(x)dx= lim J f(x)dx + lim. I'f(x)dx当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。(f(x)dx的收敛性与收敛时的值，都与实数c的选取无关。注意：
同理可以给出另外几种情形的定义： → = u u b a b a f x dx f x dx b f x f x b ( ) lim ( ) (1) ( ) ( ( ) _ 若点 是 的瑕点 在点 的任一左邻域无界） → − → + = + = + b v c v u u c a c a b c b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx c a b f x f x c lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 若点 ( , )是 ( )的瑕点( ( )在点 的任一邻域无界） 当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。 → + → − = + = + v v b c c u a u c a b c b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a b f x c a b lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 若点 、 都是 ( )的瑕点，则 ( , ) 当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。 注意： f x dx的收敛性与收敛时的值，都与实数c的选取无关。 b a ( )
2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法(1）利用定义方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。例6：讨论瑕积分dx(q> 0)的敛散性。-(q>0)在（0,1)连续，x=0为其瑕点解：被积函数f(x)=-七结论：要求熟记1-r-g] 1q#1-dx={1-qdVue(0,1)r[nx;q=1(1)当0<q<时收敛￥1(1-ul-q)q±1值为=31-q0- n uq=1(2）当q≥时发散[00<q<1: lim u'-qlim ln u = -00q>1u-→0*+8u-→0+
2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法 (1) 利用定义 方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛， 极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。 例6： 1 0 ( 0) 1 讨论瑕积分 dx q 的敛散性。 x q = = − = = − 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 (0,1) ( 0) 0 1] 0 1 ( ) u u u q q q x q x q dx q x u q x x 解：被积函数 f x 在（ ，连续， 为其瑕点 − = − = − − ln 1 (1 ) 1 1 1 1 u q u q q q = − + = + → + − → u q q u u q u lim ln 1 0 0 1 lim 0 1 0 结论： 1 0 1 dx x q 值为 ； 当 时收敛， q q − 1 1 (1) 0 1 (2)当q 1时发散。 要求熟记
p>1p-1dx = limdx =u-+oXX注意：p≤1+8（1）此结论以后是经常用到的，要熟记。（2）此结论可以推广为以下几种情形：(A)b>0，瑕积分dx当0<q<1时收敛；而当q≥1时发散。x1(B) 瑕积dx当0<q<1时收敛；而当q≥1时发散。a (x-a))1(C) 瑕积分dx当0<q<1时收敛；而当q≥1时发散。(b -x)9.1(3）对反常积分dx，定义-0xd-d+d由例3和例6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知
+ →+ + = = − 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 p p dx p x dx x u p u p 注意： （1）此结论以后是经常用到的，要熟记。 （2）此结论可以推广为以下几种情形： ，瑕积分 当0 1时收敛；而当 1时发散。 1 ( ) 0 0 dx q q x A b b q 瑕积分 当0 1时收敛；而当 1时发散。 ( ) 1 ( ) − dx q q x a B b a q 瑕积分 当0 1时收敛；而当 1时发散。 ( ) 1 ( ) − dx q q b x C b a q + = + ＋ ＋ 对反常积分 ，定义 0 1 0 1 0 1 1 1 1 (3) dx x dx x dx x dx x p p p p 由例3和例6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知
fa结论：反常积分dx对任意实数p均发散x（2）利用公式公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，点α是f(x)的瑕点，则,f(x)dx = F(x)]: = F(b) - lim, F(x)其中当 lim, F(x)存在时,J~f(x)dx收敛，右边求出的就是其值;x>a当 lim, F(x)不存在时,~f(x)dx发散。xg注意：上面的公式可以推广到另外三种瑕积分的情形。举例说明如下：1例7：求瑕积分dx的值。V1- x?1在[0,1)连续，x =1为其瑕点解：被积函数f(x):/1- x2dx=元arcsin x0321 - x2
(2) 利用公式 公式： → + = = − b a x a b a f x dx F x F b F x F x f x a f x ( ) ( ) ( ) lim ( ) 设 ( )是 ( )的一个原函数，点 是 ( )的瑕点，则 其中当 + 存在时， 收敛，右边求出的就是其值； → b x a a lim F(x) f (x) dx 当 + 不存在时， 发散。 → b x a a lim F(x) f (x) dx 注意： 上面的公式可以推广到另外三种瑕积分的情形。举例说明如下： 例7： − 1 0 2 1 1 求瑕积分 dx的值。 x 2 arcsin 1 [0,1) 1 1 1 ( ) 1 0 1 0 2 2 = = − = − = x x dx x x 解：被积函数f x 在 连续， 为其瑕点 结论： 反常积分 对任意实数 均发散。 ＋ dx p x p 0 1
课后记同学们对反常积分的定义理解上感到困难
课后记 同学们对反常积分的定义理解上感到困难