(2)在(-0,b] 上,Jm f(x)dx = lim T' f(x)dx(3)在(-0,+)上,若f(x)在任何有限区间[v,u]c(-0,+)上可积则对VαE(-,+8)J f(x)dx = J" f(x)dx + f+" f(x)dx= lim. J, f(x)dx + lim. J" f(x)dx当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛注意：f(x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关
(2) ( , ] 在 − b 上, − →− = b u u b f (x)dx lim f (x)dx (3) ( , ) 在 − + 上, 若f x v u ( ) [ , ] ( , ) 在任何有限区间 − + 上可积， + − + − = + a a f (x)dx f (x)dx f (x)dx →− →+ = + u u a a u u lim f (x)dx lim f (x)dx 当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。 注意： + − f (x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关。 则对 − + a ( , )
2.利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛，极限值就是无穷积分的值：若极限不存在，无穷积分发散。例3：讨论无穷积分[dx的敛散性。xP结论：11 xt-plp±1Jdx=i-pd解：Vu>1In x ip=1(1）当p>1时收敛1(ul-p - 1)p±1值为=31-pP-1[In up=1(2）当p≤时发散0p>1: lim u'-plim ln u = +oop<1要求熟记u→>+o0u→+oo+8￥1p>1dx =p-1limdx =xpxFp≤1+8
2. 利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值 方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛， 极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。 例3： ＋ 讨论无穷积分 的敛散性。 1 1 dx x p = = − − u u p u p x p x p dx p x u 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 解： 1 = − = − − ln 1 ( 1) 1 1 1 1 u p u p p p = + + = →+ − →+ u p p u u p u lim ln 1 0 1 lim 1 + →+ + = = − 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 p p dx p x dx x u p u p 结论： ＋ 1 1 dx x p 值为 ； 当 时收敛， 1 1 (1) 1 − p p (2)当p 1时发散。 要求熟记
注意：此结论可以推广为：Vα>0I."ddx当p>1时收敛；而当p≤1时发散Y下面再看如何利用此结论解题1Odx的敛散性。例4：讨论无穷积分x(ln x)解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关方法如换元积分法或分部积分法来处理工-00Jmudu解：设u=n x，则dx =Ox(ln x)p由上例的结论得：该无穷积分当p>1时收敛；而当p≤1时发散3．利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值在定积分里，我们有牛顿一莱布尼兹公式：[~ f(x)dx= F(x)|= F(b)- F(a) (其中F(x)是 f(x)的一个原函数)
注意： 当 时收敛；而当 时发散。 此结论可以推广为： ＋ 1 1 1 0 dx p p x a a p 下面再看如何利用此结论解题 例4： ＋ 讨论无穷积分 的敛散性。 2 (ln ) 1 dx x x p 解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关 方法如换元积分法或分部积分法来处理 du u dx x x u x p p + = = ＋ 解：设 ，则 2 l n 2 1 (ln ) 1 ln 由上例的结论得：该无穷积分当p 1时收敛；而当p 1时发散。 3. 利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值 在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式： = = − b a b a f (x) dx F(x) F(b) F(a) (其中F(x)是 f (x)的一个原函数）
既然无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则[ f(x)dx = F(x)|t° = lim F(x) - F(a)其中当 lim F(x)存在时,t°f(x)dx收敛，右边求出的就是其值;o当 lim F(x)不存在时, f(x)dx发散。注意：上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。1+0讨论无穷积分dx的收敛性，若收敛求其值。例5:001+ x1+00+00解：= lim arctan x - lim arctan xdx = arctan xa+X→+00X→-00X元元=元22dx收敛，其值为元。故无穷积分
既然无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式 来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。 公式： + →+ + = = − a x f x dx F x a F x F a F x f x ( ) ( ) lim ( ) ( ) 设 ( )是 ( )的一个原函数，则 其中当 存在时， 收敛，右边求出的就是其值； + x→+ a lim F(x) f (x) dx 当 不存在时， 发散。 + x→+ a lim F(x) f (x) dx 注意：上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。 例5： − + ＋ 讨论无穷积分 dx的收敛性，若收敛求其值。 x 2 1 1 = = − − = = − + + − →+ →− + 2 2 arctan lim arctan lim arctan 1 1 2 dx x x x x x x 解： a − + ＋ 故无穷积分 dx收敛，其值为。 x 2 1 1
三.无界函数的反常积分1.瑕点的定义若函数f(x)在点x.的近旁是无界的，则称x为函数f(x)的瑕点。2.无界函数反常积分的定义定义2:设f(x)在(a,b)上有定义，点a是f(x)的瑕点(f(x)在点a的任一右邻域无界),但在任何闭区间[u,b]c(a,b]上有界且可积。若存在极限lim J'f(x)dx = J(2)则称此极限J为无界函数f(x)在(a,bl上的反常积分（简称瑕积分），记为J =I'f(x)dx并称[~f(x)dx收敛。如果极限（2）不存在，称[f(x)dx发散。注意：与无穷积分类似，从本质上说，当瑕积分[~f(x)dx收敛时它是一个数（是一个极限值）；当瑕积分「f(x)dx发散时它只是一个记号
三. 无界函数的反常积分 1.瑕点的定义 若函数f (x)在点x0的近旁是无界的，则称x0为函数f (x)的 瑕点。 2.无界函数反常积分的定义 定义2： 则称此极限 为 无界）但在任何闭区间 上有界且可积。若存在极限 设 在 上有定义，点 是 的瑕点 在点 的任一右邻域 J f x dx J u b a b f x a b a f x f x a b u a u = → + lim ( ) (2) , [ , ] ( , ] ( ) ( , ] ( ) ( ( ) 无界函数 f (x)在(a,b]上 的反常积分（简称瑕积分），记为 = b a J f (x) dx b a 并称 f (x) dx 收敛。 b a 如果极限（2）不存在，称 f (x) dx 发散。 注意： （是一个极限值）；当瑕积分 发散时它只是一个记号。 与无穷积分类似，从本质上说，当瑕积分 收敛时它是一个数 b a b a f x dx f x dx ( ) ( )